¿Cómo resolver la ecuación diferencial $\frac {dP}{dt} = \frac {1}{2} (P-200)$ cuando se nos da que $p=200$ cuando $t=0$?

Question

El título describe bastante la cuestión. La publicación de la presente en nombre de un amigo. Él dice que él sabe cómo aplicar la integración de los factores de método, pero no puedo averiguar cómo resolver esto.

Aquí está mi trabajo:

$$\frac {dP}{dt} = \frac {1}{2} (P-200)$$

$$ \int \frac {1}{P-200} dP = \int \frac {1}{2} dt $$

$$ ln(P-200) = \frac {1}{2} t + c $$ where $c$ es la constante de integración.

Ahora, si sustituimos los valores de $p$ $t$ en la ecuación, se obtendrían $$c = ln(0)$$

Esto es donde estoy atascado. Esta es una JEE últimos papel cuestión.

Realmente apreciaría si alguien me pudiese decir donde mi amigo y yo estamos pasando mal. Gracias!

Answer 1

Aviso de inspección que la constante función de $P(t) = 200$ satisface el IVP. De hecho, es una solución de equilibrio inestable. Hay un teorema existencia unicidad que garantiza que se trata de la solución deseada.

Usted comete un error al dividir ambos lados por $(P - 200)$, ya que están dividiendo por cero.

Answer 2

Han dividido por $P-200$, que supone que $P \neq 200$. Por la inspección, $P=200$ resuelve la ecuación.

Answer 3

Tenemos $P'=\frac12 P-100$ $P_h(t)=Ce^{\frac t2}$ es la solución homogénea y $200$ es una solución particular para la solución general es % $ $$P(t)=Ce^{\frac t2}+200$y $P(0)=200$ obtenemos $C=0$.

Answer 4

$$\frac{\text{d}\text{P}(t)}{\text{d}t}=\frac{1}{2}\left(\text{P}(t)-200\right)\Longleftrightarrow$$ $$\text{P}'(t)=\frac{\text{P}(t)-200}{2}\Longleftrightarrow$$ $$\frac{\text{P}'(t)}{\frac{\text{P}(t)-200}{2}}=1\Longleftrightarrow$$ $$\int\frac{2\text{P}'(t)}{\text{P}(t)-200}\space\text{d}t=\int1\space\text{d}t\Longleftrightarrow$$ $$2\ln\left|\text{P}(t)-200\right|=t+\text{C}\Longleftrightarrow$$ $$\text{P}(t)=200+e^{\frac{\text{C}+t}{2}}\Longleftrightarrow$$ $$\text{P}(t)=200+\text{C}e^{\frac{t}{2}}$$

Ahora, saber que $\text{P}(0)=200$:

$$200=200+\text{C}e^{\frac{0}{2}}\Longleftrightarrow$$ $$200=200+\text{C}e^{0}\Longleftrightarrow$$ $$200=200+\text{C}\cdot1\Longleftrightarrow$$ $$200=200+\text{C}\Longleftrightarrow$$ $$200-200=\text{C}\Longleftrightarrow$$ $$\text{C}=0$$

Por lo tanto, la solución es:

$$\text{P}(t)=200$$