Si $f$ $C^{\infty}$ y $f^2$ analítica, $f$ es analítica.

Question

Suponga que $f:\mathbb{C}^n\rightarrow \mathbb{C}$ $C^{\infty}$ función tal que $f^2$ (complejo) de la analítica. A continuación, mostrar que $f$ es analítica.

Ahora, si tenemos en cuenta la cuestión de las funciones en algunos cuasi-analítica de Denjoy-Carleman clase de algunas pruebas he visto que no lleve más de:

Pregunta: Si $f^2$ es una función en algunos cuasi-analítica de Denjoy-Carleman de la clase, a continuación, $f$ es cuasi-analítica pertenecientes a la misma clase?

Weierstrass preparación teorema no se mantienen en su cuasi-analítica de Denjoy-Carleman clases, y es un problema abierto si $C^\infty$ función que pertenece a una cuasi-analítica de Denjoy-Carleman clase a lo largo de cada línea pertenece a esa clase. Dos de las pruebas que he visto para el primer problema con el que romper para cuasi-funciones analíticas por esta razón.

Otra cuestión abierta en Denjoy-Carleman clases es acerca de si son los ideales cerrados. Para el director ideales esta es la relacionada con la solución de $f$ $gf=h$ donde $g$ $h$ se sabe que pertenecen a la Denjoy-Carleman clase. El ideal generado por a $g$ no sería cerrada si podemos encontrar una suave $f$ que no pertenecen a la clase de la que es empujado en la clase a través de la multiplicación por $g$. De esta manera, la pregunta es acerca de la comprensión de si una función suave, no en la clase, puede ser empujado en la clase de multiplicar por sí mismo. Si el cuadrado aparece compuesto con $f$ en el otro lado, a continuación, se sabe que se producen. Esto es, $f(x^2)$ puede ser en un cuasi-analítica de Denjoy-Carleman en clase, mientras que $f$ no lo es.

Answer 1

Aquí está la respuesta a tu primera pregunta; yo no sé nada acerca de cuasi-funciones analíticas para proporcionar más información.

Basta considerar el caso en que $f$ no es constante. Set $g=f^2$. Considerar el subconjunto $Z=f^{-1}(0)$. A continuación,$Z=g^{-1}(0)$. Desde $g$ es asumido complejo-analítica (esta es mi lectura de tu pregunta), $Z$ es una adecuada analítica subvariedad en ${\mathbb C}^n$. Por otro lado, en $U= {\mathbb C}^n\setminus Z$ los varios valores de la función $\sqrt{g}$ es complejo-analítica en $U$. La función de $f$ es (localmente en $U$) rama de $\sqrt{g}$; por lo tanto, $f$ es complejo-analítica en $U$. Desde $f$ se extiende continuamente a $Z$, es complejo-analítica en toda la ${\mathbb C}^n$ por la de Riemann extraíble del teorema de la singularidad en varias variables.