Topología de cocientes de$[0,1]$

Question

¿Es posible definir una relación de equivalencia$\sim$ sobre$[0,1]$ de tal manera que$[0,1]/\sim$ no sea contable por segundo?

Answer 1

Para $x,y\in[0,1]$ deje $x\sim y$ fib $x=y$ o $x,y\in\Bbb Q$, y vamos a $X=[0,1]/\sim$; $X$ es el resultado de la identificación de $\Bbb Q\cap[0,1]$ a un punto. Deje $p$ ser el punto de $X$ correspondiente a la $\sim$-equivalence class $\Bbb Q$, y deje $q:[0,1]\to X$ ser el cociente mapa. Un conjunto $U\subseteq X$ es una nbhd de $p$ fib $q^{-1}[U]$ es una nbhd de $\Bbb Q\cap[0,1]$$[0,1]$, que es el caso si y sólo si $[0,1]\setminus q^{-1}[U]$ es un subconjunto cerrado de $[0,1]\setminus\Bbb Q$.

Si $X$ tiene una contables de base local en $p$, hay una contables de la familia $\mathscr{F}=\{F_n:n\in\Bbb N\}$ de subconjuntos cerrados de $[0,1]\setminus\Bbb Q$ que si $H$ es cualquier subconjunto cerrado de $[0,1]\setminus\Bbb Q$, hay un $n\in\Bbb N$ tal que $H\subseteq F_n$. (Acaba de tomar la complementa en $[0,1]$ de los conjuntos de $q^{-1}[U]$ $U$ en el conteo de base local en $p$.) Por lo tanto, para demostrar que $X$ no tiene contables de base local en $p$, sólo tenemos que demostrar que si $\mathscr{F}=\{F_n:n\in\Bbb N\}$ es cualquier contables de la familia de subconjuntos cerrados de $[0,1]\setminus\Bbb Q$, no es un subconjunto cerrado $H$ $[0,1]\setminus\Bbb Q$ tal que $H\setminus F_n\ne\varnothing$ por cada $n\in\Bbb N$.

Cada una de las $F_n$ es cerrado en $[0,1]$ y disjunta de a $\Bbb Q$, de modo que cada una de las $F_n$ es un circuito cerrado, en ningún subconjunto denso de $[0,1]$. $[0,1]$ es un compacto Hausdorff espacio, así también por la categoría de Baire teorema no es la unión de countably muchos cerrada, nada densa subconjuntos. Por lo tanto, podemos elegir un irracional $x\in[0,1]\setminus\bigcup\mathscr{F}$ y deje $H=\{x\}$; claramente $H\setminus F_n=H\ne\varnothing$ por cada $n\in\Bbb N$, como se desee.

Answer 2

Sí.

Considere la posibilidad de la equivalencia de la relación de $\sim$ obtenido por la identificación de todos los puntos de la forma $\frac{1}{n}$ (y de ser sólo la igualdad en el resto de la unidad de intervalo). Denotando por $*$ la equivalencia de la clase de los recíprocos de los números naturales en $[0,1]/\sim$, me dicen que no hay contable base en $*$. Tenga en cuenta que abrir barrios de $*$ esencialmente aspecto $$\{ * \} \cup \bigcup_{n=1}^\infty \left( ( \tfrac{1}{n} - \epsilon_n , \tfrac 1n ) \cup ( \tfrac 1n , \tfrac 1n + \epsilon_n ) \right)$$ where $0 < \epsilon_n \leq \frac{1}{n(n+1)}$. If $\{ V_m \}_{m=1}^\infty$ is any countable collection of such open neighbourhoods, say $$V_m = \{ * \} \cup \bigcup_{n=1}^\infty \left( ( \tfrac{1}{n} - \epsilon_{m,n} , \tfrac 1n ) \cup ( \tfrac 1n , \tfrac 1n + \epsilon_{m,n} ) \right)$$ for each $m$, consider $$U = \{ * \} \cup \bigcup_{n=1}^\infty \left( ( \tfrac{1}{n} - \tfrac{\epsilon_{n,n}}2 , \tfrac 1n ) \cup ( \tfrac 1n , \tfrac 1n + \tfrac{\epsilon_{n,n}}2 ) \right).$$ This is clearly an open neighbourhood of $*$, but $V_m \no\subseteq U$ for all $m$ (meaning that the $\{ V_m \}_{m=1}^\infty$ is not a local base at $*$). (Note that this shows that $[0,1]/\sim$ no es la primeracontable.)