Si $f(x)$ es uniformemente continua en $(0,1)$ entonces está acotado en $(0,1)$ ?

Question

Posible duplicado:
Continuidad uniforme

Tengo una pregunta que es:

Si ${f(x)}$ es uniformemente continua en ${(0,1)}$ entonces está acotado en ${(0,1)}$ ?

Esto me parece correcto pero no veo por qué exactamente (O tal vez esté mal :P).

¿Podría alguien ayudarme a averiguar la verdad aquí? :) ¡Gracias!

Answer 1

Por continuidad uniforme existe un $n\in{\mathbb N}_{\geq 1}$ tal que $0<x\leq y<x+{1\over n}<1$ implica $|f(y)-f(x)|<1$ . Poner $x_k:={k\over n+1}$ $\ (1\leq k\leq n)$ . Entonces, cualquier $y \in \ ]0,1[\ $ está a la distancia ${}<{1\over n}$ de un $x_k$ . Por lo tanto, tenemos

$$|f(y)| < \max_{1\leq k\leq n} |f(x_k)| + 1\ =:\ M$$

para todos $y \in \ ]0,1[\ $ .

Answer 2

$f$ sí que estaría acotado.

$f$ es continua en $(0,1)$ por lo que, si no estuviera acotado en $(0,1)$ existiría $x_n\nearrow 1$ o $x_n\searrow 0$ con $f(x_n)\rightarrow\infty$ o $f(x_n)\rightarrow-\infty$ . Pero, ninguna de estas opciones puede ocurrir debido a los siguientes hechos 1) las funciones uniformemente continuas mapean secuencias de Cauchy a secuencias de Cauchy. 2) Las secuencias de Cauchy están acotadas.

El hecho 1) es fácil de demostrar: Sea $\{x_n\}$ sea Cauchy y $\epsilon>0$ . Sea $\delta$ sea tal que $|f(x)-f(y)|\lt\epsilon$ siempre que $|x-y|<\delta$ . Ahora elija $N$ para que $m,n> N$ implica $|x_n-x_m|<\delta$ . Entonces tenemos para cualquier $n, m>N$ que $|f(x_n)-f(x_m)|<\epsilon$ . Así, $\{f(x_n)\}$ es Cauchy.

El hecho 2) también es fácil de demostrar, pero se lo dejaré al lector interesado.