El triple de la integral dada es:
$$\int\int\int \frac1{\sqrt{(x-a)^2 + y^2 + z^2}}dV ,a\ge 2 $$
La región de integración se da es $ 0\le x^2 + y^2 + z^2\le 1$
La región de integración es claramente esféricamente simétrica, así que he intentado utilizar coordenadas esféricas. Sin embargo, terminé con un triple integral que parecía irresoluble. Tanto en la región como el integrando parecen tener simetría cilíndrica sobre el eje x. Tristemente, me quedé atrapado tratando de resolver la integral así. Consejos sobre cómo proceder con esta pregunta se agradece!!
P. S Este es mi primer post así que por favor darme algunos consejos sobre el formato!
EDICIONES:
1) Usando coordenadas cilíndricas que obtengo:
$$\int\int\int \frac1{\sqrt{r^2 + z^2 -2arcos(\theta) +a^2 }}rdzdrd\theta $$
Con la región:
$-\sqrt{1-r^2}\le z \le \sqrt{1-r^2}$
$ 0\le r\le 1$
$ 0\le \theta\le 2\pi$
2) Usando coordenadas esféricas que obtengo:
$$\int\int\int \frac1{\sqrt{r^2 -2rsin(\phi)cos(\theta) +a^2 }}r^2sin(\phi)drd\phi d\theta $$
Con la región:
$ 0\le r\le 1$
$ 0\le \theta\le 2\pi$
$ 0\le \phi\le \pi$
EDITAR NÚMERO 2:
Siguientes Martin del asesoramiento y el uso de las coordenadas cilíndricas de recibir:
$$\int\int\int \frac1{\sqrt{r^2 + (z-a)^2}}rdzdrd\theta $$
Con la región:
$-\sqrt{1-r^2}\le z \le \sqrt{1-r^2}$
$ 0\le r\le 1$
$ 0\le \theta\le 2\pi$
Mientras que esto parece solucionable, ¿alguien tiene alguna pista sobre por dónde empezar. El problema ahora es que la primera integral de la antiderivada da: $$\int\int r[ln\left|(z-a) + \sqrt{r^2 + (z-a)^2}\right|]_{-\sqrt{1-r^2}}^{\sqrt{1-r^2}}$$ No tengo idea de cómo integrar esta complicada la expresión. Cualquier ayuda es muy apreciada!
