Deje $S \subseteq \mathbb{P}^n$ ser un suave proyectiva de la superficie con la incrustación en el espacio proyectivo. Por otra parte, vamos a $X$ ser otra superficie lisa y que haya un mapa de $\pi: X \rightarrow S$ que es finito de grado 2. Así que si contamos multiplicidades, cada punto en $S$ tiene dos preimages en $X$.
Pregunta 1: Es la gavilla $\pi^*(\mathcal{O}_S(1))$ nuevo muy amplio? Alternativamente, si denotamos por a $H$ un hyperplane sección $S$, es el pullback divisor $\pi^*H$ $X$ nuevo un hyperplane sección de algunos de incrustación de $X$ en algunos proyectiva del espacio?
Pregunta 1(b): Si esto no es cierto, se puede dar un contraejemplo?
Pregunta 2: Si esto no es cierto, sería verdad si reemplazamos $\mathcal{O}_S(1)$ $\mathcal{O}_S(k)$ algunos $k \in \mathbb{N}$?
Si es necesario, todo puede ser más de $\mathbb{C}$.
Creo que una parte de mi confusión surge de lo siguiente: Hartshorne define la Serre gavilla de algunos $\operatorname{Proj}(T)$, pero esto depende de el graduado de anillo de $T$. Pregunta 3: ¿Es cierto que ser capaz de escribir una variedad proyectiva como el $\operatorname{Proj}$ de algunas anillo es equivalente a tener una explícita de la incrustación en algunos proyectiva del espacio? Entonces, ¿es cierto que sin un determinado incrustación en el espacio proyectivo de alguna variedad proyectiva $X$, la gavilla $\mathcal{O}_X(1)$ no está definido aún?
Como usted puede decir, estoy luchando con los conceptos de torsión gavilla, hyperplane secciones y proyectivas de incrustaciones. Por lo que cualquier elaboración en estos conceptos sería inmensamente apreciado, incluso si no contiene una respuesta a las preguntas anteriores.
Muchas gracias!
