Evaluación de un límite simple con Taylor Series

Question

Me gustaría evaluar$$\lim_{x\to0} \frac{e^{\sin x} - \sin^2x - 1}{x}$ $ utilizando la expansión de la serie Taylor de una manera completamente rigurosa. ¿Cómo sería una versión rigurosa del siguiente argumento?

Desde$$e^{\sin x} -1\sim_0 e^x-1 \sim_0 x \text{ and }\sin^2x \sim_0 x^2$ $ podemos encontrar el límite$$\lim_{x\to0} \frac{e^{\sin x} - \sin^2x - 1}{x} = \lim_{x\to0} \frac{x-\frac{x^2}{2}}{x} = 1.$ $

En particular, no estoy seguro de cómo lidiar con los símbolos de Landau$o$ y$O$ en las funciones anidadas.

Answer 1

$\sin(x) = x + o(x)$, luego$\sin^2(x) = x^2 + 2xo(x) + (o(x))^2 = x^2 + o(x)$, ya que$$\lim_{x\to 0}\dfrac{2xo(x)+ (o(x))^2}{x} = \lim_{x\to 0}(2o(x)+(\dfrac{o(x)}{x})^2x = 0$ $

$e^{\sin(x)} = 1+ \sin(x) + o(\sin(x)) = 1 + x + o(x) + o(x+ o(x)) = 1+ x + o(x)$, ya que

ps

Por lo tanto$$\lim_{x\to 0}\dfrac{o(x)+ o(x + o(x))}{x} = \lim_{x\to 0}\dfrac{o(x)}{x} + \lim_{x\to 0}\dfrac{o(x + o(x))}{x + o(x)}\dfrac{x+o(x)}{x} = 0$

Answer 2

Puede escribir$$\sin(x)=x+O(x^2)$ $$$\sin^2 x=\left(x+O(x^2)\right)^2=O(x^2)$ $$$\exp(x)=1+x+O(x^2)$ $$$\exp (\sin x)=\exp \left(x+O(x^2)\right)=1+\left(x+O(x^2)\right)+O(x^2)=1+x+O(x^2)$ $

Así

$$ \ frac {e ^ {\ sen x} - \ sin ^ 2x - 1} {x} = \ frac {1 + x-1 + O (x ^ 2)} x = \ frac {x + O (x ^ 2)} x \\ = 1 + O (x) \ rightarrow 1 $$