Dejemos que $X$ sea $\mathbb{R}^3$ con la norma sup $\|\cdot\|_{\infty}$ . Sea $Y=\{x\in X: \|x\|_{\infty}=1\}$ . Para $x,y\in Y$ definir $d(x,y)$ para ser la longitud de arco de los caminos más cortos en $Y$ unirse a $x,y$ . (Es fácil ver que generalmente hay más de un camino más corto y que estos caminos más cortos deben ser una unión de segmentos de línea en $Y$ .) Mi pregunta es: Si $y\neq -x$ es el conjunto $$Y\cap \{\lambda x+\mu y: \lambda\ge 0, \mu\ge 0\}$$ siempre un camino más corto que une $x,y$ ?
Respuesta
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Sorprendentemente (para mí), este no es el caso.
Considere dos puntos $p_x$ y $p_y$ en las caras $f_x$ y $f_y$ en los planos $x=1$ y $y=1$ respectivamente. En $f_x$ No podemos viajar en el $x$ dirección, y en $f_y$ no podemos viajar en el $y$ dirección, por lo que la longitud de un camino que conecta los puntos es al menos la suma de las distancias de los puntos a la arista común. Por otra parte, la longitud es también al menos la diferencia de las $z$ coordenadas de los dos puntos. Si elegimos que estos dos límites sean iguales, entonces hay exactamente un camino más corto que conecta los puntos, a saber, el que recorre en diagonal cada cara para cubrir la misma distancia a lo largo de $z$ como hacia el borde.
Las coordenadas de los puntos en este caso se pueden parametrizar como
$$p_x=\pmatrix{1\\1\\z}+\pmatrix{0\\-a\\-a}\;,$$
$$p_y=\pmatrix{1\\1\\z}+\pmatrix{-b\\0\\b}\;,$$
donde $z$ es el $z$ coordenada del punto donde el camino más corto cruza la arista, y $a,b\ge0$ .
Ahora la trayectoria definida en la pregunta se encuentra en el plano
$$\lambda p_x+\mu p_y=\lambda\left[\pmatrix{1\\1\\z}+\pmatrix{0\\-a\\-a}\right]+\mu\left[\pmatrix{1\\1\\z}+\pmatrix{-b\\0\\b}\right]\;.$$
Para que este sea el camino más corto, tendría que contener el punto $(1,1,z)$ . Pero si esta expresión es igual a $(1,1,z)$ rinde $\lambda a=\mu b$ de las dos primeras ecuaciones, y al sustituirla en la tercera se obtiene $\lambda z+\mu z=z$ . A menos que $z=0$ Esto implica $\lambda+\mu=1$ lo que contradice las dos primeras ecuaciones a menos que $a=0$ y $b=0$ . Por lo tanto, en general el camino más corto no se encuentra en ese plano.
