¿Intersección de círculos: encontrar el centro de uno con el otro?

Question

Hola chicos estoy trabajando en un problema que me necesita para resolver estos círculo ecuaciones pero ha sido un tiempo desde que he tenido que hacer esto. Necesito encontrar la coordenada y de la roja círculo de radio r/4 cuando su x-coord es r/4 y también de la reunión el azul del círculo de radio r.

A mí me parece que su posible este trabajo sólo con la información dada, sino estoy equivocado?

He intentado utilizar tanto cartesianas y paramétricas pero sale incorrectamente. por ejemplo,

$$ (x-\frac{r}{4})^2 + (y-b)^2 - \frac{r^2}{16} = x^2 + y^2 - r^2 $$

$$ x -\frac{r}{4} + y -b = x + y - \sqrt{\frac{15}{16}}r $$

$$ -\frac{r}{4} = - \sqrt{\frac{15}{16}}r +b $$

$$ (\sqrt{\frac{15}{16}}-\sqrt{\frac{1}{16}})r = b $$

$$ \frac{\sqrt{15}-1}{4} = b $$ Supongo que yo podría no estar permitido para eliminar x y y o estoy simplificando incorrectamente. Gracias, Dan

Answer 1

Bonito diagrama, que lo hizo todo claro. Por desgracia, yo no le correspondo, y el uso de palabras para identificar ciertos puntos clave de la imagen.

Deje $C$ ser el centro del pequeño círculo. Deje que el origen, y el centro del círculo grande, ser $O$.

Dibujar la línea de $OC$. Extendida, que pasa a través del punto de $P$ de tangencia de los dos círculos. Esto es debido a que el común de la tangente de la línea a través de $P$ es simultáneamente perpendicular a los radios $OP$$CP$.

Dibuja la línea vertical a través de $O$. Este es tangente al círculo. Dibujar la línea a través de $C$ perpendicular a esta línea vertical. Cumple con la línea vertical en el punto de $T$ de tangencia con el pequeño círculo.

Considere la posibilidad de $\triangle OTC$. Tenemos $TC=\frac{r}{4}$. También, $OC=\frac{3}{4}r$. Esto es debido a que $OC=OP-CP=r-\frac{r}{4}$.

Por lo tanto, por el Teorema de Pitágoras $$OT^2=\frac{9}{16}r^2-\frac{1}{16}r^2,$$ y, por tanto,$OT=\frac{1}{\sqrt{2}}r$. Este es el deseado $y$-coordenadas del centro del círculo pequeño.

Nota: también puede configurar y resolver adecuado de las ecuaciones, Para este problema, el enfoque es algo más complicado, sin duda más complicado de escribir.