Mapas lineales acotados en espacios de Banach

Question

Deje $X$ ser un espacio de Banach y deje $M: X \rightarrow X$ ser lineal en el mapa. Prov que M es acotado si existe un conjunto $S \subset X'$, denso en X, tal que para cada una de las $\ell \in S$ funcional $m_l$ definido por $$m_\ell(x) = \ell M (x)$$ es continua en X.

Yo: Si $M$ es limitada, a continuación, $\ell M$ es limitado para todos los $\ell$, por lo tanto todos los $m_\ell$ son continuos, para todos los subconjuntos de a $S$. Así que tenemos que encontrar un denso?

Por otro lado: supongamos que todos los $m_\ell$ es continua, ya que el débil límite es único, $Mx_n \rightarrow y$ y $x_n \rightarrow x$ $\Longrightarrow$ $Mx = y$ y por cerrado el gráfico M es acotado/continua.

Se siente como que me estoy perdiendo algo con la densidad de $S$. Debo mirar a $\ell \in S^c$ también? y hacer algo de $\epsilon/2$ argumento?

Answer 1

Suponga que $\lim\limits_{n\to\infty} x_n=x$$\lim\limits_{n\to\infty} M(x_n)=y$. Tomar arbitraria $\ell\in S$, luego $$ \ell(y-M(x))= \ell(y)-\ell(M(x))= \ell(\lim\limits_{n\to\infty}M(x_n))-m_\ell(x)= \lim\limits_{n\to\infty}\ell(M(x_n))-m_\ell(x)= \lim\limits_{n\to\infty}m_\ell(x_n)-m_\ell(x)= m_\ell(\lim\limits_{n\to\infty}x_n)-m_\ell(x)= m_\ell(x)-m_\ell(x)=0 $$ Desde $S$ es denso en $X^*$, para todos los $\ell\in X^*$ wee han $$ \ell(M(x)-y)=0 $$ Por el corolario de Hahn-Banach teorema se sigue que $M(x)-y=0$. Ahora, de cerrado gráfico teorema tenemos que $M$ es continua.