Un reciente Problema del Estado de Missouri afirmaba que es fácil descomponer el plano en intervalos semiabiertos y nos pedía que lo hiciéramos con intervalos apuntando en todas direcciones. Eso me llevó a intentar descomponer el plano en intervalos cerrados o abiertos. Lo mejor que pude hacer fue hacer un cuadrado al que le faltaran dos lados (que se puede hacer de cualquier tipo) y formar un damero al que le faltaran los cuadrados blancos de arriba y abajo y los cuadrados negros de izquierda y derecha. Así se obtiene todo el plano excepto los puntos de la celosía. Esto parece que debe ser un problema estándar, pero no he podido encontrarlo en la web. Entonces, ¿se puede descomponer el plano en intervalos abiertos unitarios? ¿intervalos cerrados?
Respuestas
¿Demasiados anuncios?
He enviado esto a Desbordamiento matemático y Jeff Strom dio la siguiente respuesta:
Conway y Croft muestran que se puede hacer para intervalos cerrados y no se puede hacer para intervalos abiertos en el artículo:
Cubrir una esfera con arcos de círculo máximo congruentes. Proc. Cambridge Philos. Soc. 60 1964 787-800.
Parece bastante fácil. Vamos a cubrir el plano complejo en su lugar ya que es obviamente equivalente a cubrir $\mathbb{R}^2$ . Comience con la familia de segmentos de línea de longitud unitaria $I_\theta = \{a\cdot e^{i\theta} \mid a \in (0,1] \}$ , $\theta \in (0,2\pi)$ . Entonces defina $I_{\theta,n}$ , $n \in \mathbb{N}_0$ ser $I_\theta$ tradujo una longitud de $n$ en dirección a $\theta$ . Esta colección cubre todo el plano complejo excepto el rayo $[0,\infty)$ que cubrimos con los intervalos semiabiertos $[k,k+1)$ .
Con esta idea, debería ser fácil ver cómo para cualquier $k$ rellene $\mathbb{R}^k$ con intervalos de longitud unitaria que "apuntan en todas direcciones".
PARA SU INFORMACIÓN: \mathbb{N}_0 rompe cosas. Tienes que escapar del guión bajo: \mathbb{N}\_0 .
