Prueba $f=0$ casi en todas partes

Question

Este es uno de los problema en nuestro pasado los exámenes médicos integrales. No me importa recibir toda la solución.

Supongamos $f$ es un delimitada, medibles en función de $[0,1]$, $\epsilon>0,$ y para todos los $x>\epsilon\,$ uno tiene

$$0=\int_0^1 f(s )\exp(-xs)ds$$

Mostrar que $f=0$ en casi todas partes.

Alguien me dio una pista para resolver el problema a través de Urysohn del lexema. No estoy totalmente cómodo con ese lema. Tengo una corazonada de que podemos demostrarlo a lo largo de la línea de análisis de Fourier. No estoy seguro que por este enfoque. Yo no sé ni cómo empezar.

Answer 1

Algunas sugerencias, esperando que sea útiles. Ampliar la exponencial como una serie de energía para deducir que $\int{[0,1]}f(s)s^nds=0$ % todos $n$. Esto da, por el teorema de Stone-Weierstrass que $\int{[0,1]}f(s)g(s)ds=0$ % todo $g$continua en $[0,1]$. Concluimos de esta respuesta.