¿Pregunta de cálculo simple: es la aplicación de l ' Hopital ' regla s $\sin(x) / x$ razonamiento circular realmente?

Question

Así que sé que es una pregunta tonta tal vez, pero ha sido en mi cabeza últimamente. Una vez le dije a alguien, sobre el tema de la introductorios de cálculo, que el uso de la regla de l'Hospital para calcular $$\lim\limits_{x\rightarrow 0} \frac{\sin(x)}{x}$$ is circular reasoning, because the limit we are looking for is the definition of the derivative of $\sin(x)$ at $x=0$. Argumentaron que no es porque usted puede trabajar fuera de la derivada del coseno a través de su serie representación sin recurrir a la definición.

Ahora, hay dos formas que conozco para obtener la serie representación del coseno: la más obvia es la expansión de Taylor, lo que obviamente requiere el conocimiento de todos los derivados, y el otro es para probar la siguiente declaración:

Si existe dos funciones $f$ $g$ tal que $f'=g$ y $g'=-f$, son únicos.

Entonces usted tiene que salir de el sombrero de la serie de representaciones y demostrar que respetan las condiciones mencionadas anteriormente, que sólo consiste en derivar polinomios. Sin embargo, a mí me parece que usted todavía tiene que saber que los derivados del pecado y de la cos para luego identificar las dos funciones trigonométricas con la serie de representaciones mediante su singularidad.

Mi pregunta es: ¿existe realmente una manera de obtener la serie de la representación por el pecado y cos sin saber los derivados, así deshacerse de la circularidad en el razonamiento?

Esta pregunta es de ninguna manera práctica y es sólo una curiosidad mía, yo no estoy interesado en otras formas de calcular el límite, que es trivial.

EDITAR:

No creo que este es un duplicado, como dije en mi comentario, si lees la pregunta que está vinculada, usted se dará cuenta de que lo que el OP quiere decir con "razonamiento circular" es algo en demostrar el límite de la utilización de fórmulas sobre el área de los círculos, que no tiene nada que ver con mi pregunta sobre la serie de representaciones.

Answer 1

Hacemos las siguientes definiciones: $$\sin(x) = x - \frac{1}{3!}x^3+ \frac{1}{5!}x^5+ \cdots = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{(-1)^k}{(2k+1)!} x^{2k+1}$$ y $$\cos(x) = 1 - \frac{1}{2!}x^2+ \frac{1}{4!}x^4+ \cdots = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{(-1)^k}{(2k)!} x^{2k} + \cdots$$ La serie anterior convergen para cada una de las $x \in \mathbb{R}$ por la prueba de razón. Un conocido teorema de potencia de la serie afirma que la derivada de una potencia de la serie es, de hecho, el poder de la serie de derivados. Esto no es trivial teorema, se requiere un poco de esfuerzo para probar. Pero, con el término-a-término diferenciación teorema es obvio que $$\begin{align} \frac{d}{dx} \sin(x) &= 1+ \frac{2}{3!}x^2+ \cdots + \frac{2k+1}{(2k+1)!}x^{2k} + \cdots \\ &= 1+ \frac{1}{2!}x^2+ \cdots + \frac{1}{(2k)!}x^{2k} + \cdots \\ &= \cos(x) \end{align}$$ Por lo tanto, la aplicación de L-Hospital de la Regla: $$\lim_{x \rightarrow 0} \frac{ \sin x}{x} = \lim_{ x \rightarrow 0} \frac{\cos(x)}{1} = \frac{\cos(0)}{1} = 1.$$ Aviso, $\cos(0)=1$ $\sin(0)=0$ son casi de manifiesto con las definiciones que se me ofrecen en el inicio de esta respuesta.

He aquí un interesante seguimiento: ¿cómo podemos probar otros aspectos de la teoría de la función de seno y coseno a través de la serie. Por ejemplo, cómo demostrar a la $2\pi$-de periodicidad, o de la adición de ángulos de fórmulas ? Se sabe mucho. Lo voy a dejar por ahora.