¿Curl de una cruz de campo de vector en sí?

Question

¿Hay una expresión clara para$(\nabla \times f ) \times f$ para algún campo vectorial f? Aquí está mi intento de una solución:

$((\nabla \times f ) \times f)_i = \epsilon_{ijk}(\nabla \times f )_jf_k$

$ = \epsilon_{ijk}\epsilon_{jlm} \frac{d}{dx_l}f_mf_k$

$ = (\delta_{im}\delta_{kl} - \delta_{il}\delta_{km})\frac{d}{dx_l}f_mf_k$

$ = \frac{d}{dx_k}f_if_k - \frac{d}{dx_i}f_k^2$

Lo interpreté como siendo$f (\nabla \cdot f) - \nabla (f \cdot f)$ pero no creo que esto sea correcto. ¿Alguien puede decirme dónde me equivoqué?

Answer 1

$$ \begin{align} (\delta_{im}\delta_{kl} - \delta_{il}\delta_{km})\frac{\partial f_m}{\partial x_l}f_k&=\frac{\partial f_i}{\partial x_k}f_k-\frac{\partial f_k}{\partial x_i}f_k \\ &\ne \frac{\partial}{\partial x_k}f_if_k - \frac{\partial}{\partial x_i}f_k^2 \end {align} $$

cual fue el resultado incorrecto.

Es sencillo ver eso

ps

mientras usa la regla del producto revela que

ps

Answer 2

Es un poco confuso mantener juntos el dos$f$. Pero tu trabajo parece correcto hasta el final. Creo que la expresión correcta debería ser$$ (\nabla \times f)\times f=(f \cdot\nabla)f-\frac12 \nabla(f\cdot f) $ $

Answer 3

Por alguna razón que hizo que el operador de la derivada de la ley en tanto $f$'s. El cálculo debe ir de la siguiente manera,

$$ \left((\nabla \times \vec{f} ) \times \vec{f} \right)_k = \epsilon_{ijk} ( \nabla \times \vec{f} )_i f_j $$

$$ = \epsilon_{ijk} \epsilon_{\alpha \beta} \left( \partial_\alpha f_\beta \right) f_j $$

$$ = \epsilon_{ijk} \epsilon_{ i \alpha \beta } f_j \partial_\alpha f_\beta $$

$$ = \left( \delta_{j \alpha} \delta_{ k \beta} - \delta_{ j \beta} \delta_{k \alpha} \right) f_j \partial_\alpha f_\beta $$

$$ = f_\alpha \partial_\alpha f_k - f_\beta \partial_k f_\beta $$

$$ = \left( (\vec{f} \cdot \nabla ) \vec{f} \right)_k - \frac12 \partial_k f_\beta^2 $$

$$ = \left( (\vec{f} \cdot \nabla ) \vec{f} \right)_k - \left( \frac12 \nabla (\vec{f}^2) \right)_k $$

De modo que podemos concluir que,

$$ (\nabla \times \vec{f} ) \times \vec{f} = ( \vec{f} \cdot \nabla ) \vec{f} - \frac12 \nabla (\vec{f}^2) $$