Hallar la intersección de la hipérbola y la elipse.

Question

Dado $E: 2x^2-xy+y^2+y=4$ y $H: 2x^2-y^2=1$ encuentra la intersección.

Todas las veces que he tenido que enfrentarme a problemas de intersección siempre he utilizado el método de sustitución, pero ahora me parece una forma tediosa de abordar este problema. ¿Hay algún método mejor?

Answer 1

Seguiría esta respuesta mía .

1. Convierte tus cónicas en matrices simétricas : $$A=\begin{bmatrix}4&-1&0\\-1&2&1\\0&1&-8\end{bmatrix}\qquad B=\begin{bmatrix}2&0&0\\0&-1&0\\0&0&-1\end{bmatrix}$$ Tenga en cuenta que he escalado su primera ecuación por un factor de $2$ porque la distribución simétrica de los términos fuera de diagonal los divide por dos y yo quería evitar fracciones.

2. Encuentra combinaciones lineales con determinante cero. $$\det(\lambda A+\mu B)=-60\lambda^3-9\lambda^2\mu+16\lambda\mu^2+2\mu^3$$ Esto no es un factor, así que no se pueden esperar soluciones racionales. En particular, cero no es una solución ni para $\lambda$ o $\mu$ (aunque $\lambda=\mu=0$ es una solución, pero la ignoramos). Así que fijemos $\lambda=1$ y calcula $\mu$ para eso: $$\mu_1\approx-8.10\qquad\mu_2\approx-1.88\qquad\mu_3\approx1.97$$ Las soluciones exactas son tediosas de escribir.

3. $A+\mu_iB$ es una cónica degenerada formada por un par de rectas que pasan por los puntos de intersección. Continuaré con $\mu_1$ para mis ejemplos numéricos. $$C_1=A+\mu_1B\approx\begin{bmatrix}-12.2&-1&0\\-1&10.1&1\\0&1&0.0982\end{bmatrix}$$

4. En adjuntar de eso es $$\operatorname{adj}C_1\approx\begin{bmatrix}-0.00805&0.0982&-1\\0.0982&-1.20&12.2\\-1&12.2&-124\end{bmatrix}$$ It has rank 1, so all rows and all columns are multiple of one another. Take any non-zero row or column of that, e.g. the first row, and you have the homogeneous coordinates where the two lines intersect. (Divide by the last coordinate if you want to have regulas $(x,y)$ coordinates but you don't need that.) Now use these coordinates to form an anti-symmetric matrix $$P_1\approx\begin{bmatrix}0&-1&-0.0982\\1&0&-0.00805\\0.0982&0.00805&0\end{bmatrix}$$ Entonces considera $$C_1+\lambda P_1\approx\begin{bmatrix}-12.2&-1-\lambda&-0.0982\lambda\\-1+\lambda&10.1&1-0.00805\lambda\\0.0982\lambda&1+0.00805\lambda&0.0982\end{bmatrix}$$ Take any $2\times2$ minor of this, e.g. $$\begin{vmatrix}-12.2&-1-\lambda\\-1+\lambda&10.1\end{vmatrix}\approx\lambda^2-124\overset!=0$$ De ello se deduce que $\lambda\approx\pm11.1$ . Eligiendo la solución positiva (una elección arbitraria) se obtiene $$C_1+\lambda P_1\approx\begin{bmatrix}-12.2&-12.1&-1.09\\10.1&10.1&0.910\\1.09&1.09&0.0982\end{bmatrix}$$ Esta matriz tiene de nuevo rango uno, por lo que sus filas son múltiplos unas de otras, y sus columnas son múltiplos unas de otras. Elija cualquier fila distinta de cero y cualquier columna distinta de cero, y usted tiene las ecuaciones de dos de las líneas. $$g_1\approx[-12.2:-12.1:-1.09]\qquad h_1\approx[-12.2:10.1:1.09]$$ .

5. Repita estos pasos para $\mu_2$ . No voy a publicar esto aquí, pero al final se obtiene $$g_2\approx[0.248:-1.20:1.23]\qquad h_2\approx[0.248:-0.799:-1.23]$$ Ahora interseca una de las líneas de roun $1$ con uno de ronda $2$ calculando el producto corss para obtener uno de sus puntos de intersección. Divide por la última coordenada para deshomogeneizar. \begin{align*}q_1&=g_1\times g_2\approx[-16.3:14.7:17.7]\to(-0.921, 0.835)\\q_2&=g_1\times h_2\approx[14.1:-15.3:12.8]\to(1.10, -1.20)\\q_3&=h_1\times g_2\approx[13.8:15.3:12.1]\to(1.14, 1.26)\\q_4&=h_1\times h_2\approx[-11.6, -14.7, 7.23]\to(-1.61, -2.04)\end{align*}

Answer 2

Se puede reescribir la primera ecuación como $2y^2-xy+y=3$ (utilizando $2x^2-y^2=1$ ).
Reorganizándolo en $2y^2-3=y (x-1)$ y elevándolo al cuadrado, tenemos $(2y^2-3)^2=y^2 (x-1)^2$ .
Enchufar $y^2=2x^2-1$ obtenemos la ecuación simplificada en $x$ como $14x^4+4x^3-41x^2-2x+26=0$ (Espero que mi álgebra sea correcta).

Las raíces en forma aproximada son $-1.61,-0.92,1.10,1.14$ . Esto tiene $4$ raíces. Pero como hemos elevado al cuadrado, también tenemos raíces extrañas. Así que después de obtener los valores de $y$ de la correspondiente $x$ utilizando la ecuación de la hipérbola, tenemos que volver a introducirla en la ecuación de la elipse como las raíces de $4$ grado pueden ser o no los puntos de intersección de la elipse y la hipérbola.