Rango de prueba de $AB$ es como máximo igual al rango de $B$

Question

$A=m\times n$ matriz. $B = n\times p$ matriz. Demostrar que el rango del producto $AB$ es como máximo igual al rango de $B$ .

Estado actual de mi trabajo:

(1) Primera idea: demostrar que el núcleo de $B$ , $k(B)$ está contenida en $k(AB)$ . Sea $x$ denota un elemento arbitrario en $k(B)$ . Entonces $ABx = A(Bx) = $ A( 0 ) = 0, donde 0 es el elemento cero. Así, cada elemento de $k(B)$ está en $k(AB)$ . Así, el núcleo de $B$ está contenida en $k(AB)$ .

(2) Segunda idea: Explicar por qué la nulidad de $B$ es como máximo la nulidad de $AB$ . Esto se deduce de (1). Si la nulidad de $B >$ la nulidad de $AB$ entonces habría algunos elementos de $k(B)$ no se expresa en $k(AB)$ . Pero esto no puede ser así ya que (1) muestra que cada elemento de $k(B) \in k(AB)$ .

(3) Última idea: Utilizar el teorema de la nulidad. Aquí es donde me quedo atascado. Lo único que se me ocurre es Dim(dominio(AB)) = k(AB) + rank(AB). $k(AB) \geq k(B)$ . Así que $Dim(domain(AB)) \geq k(B) + rank(AB)$ .

Así que estoy atascado. Además, se agradecen los comentarios sobre (1), (2).

Answer 1

Identificando una matriz con su correspondiente mapa lineal, el rango de un mapa $A:\mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^m$ es sólo $\dim (\operatorname{im} A)$ . La afirmación requerida se deduce inmediatamente. El teorema de nulidad de rango permite hacer el mismo argumento en términos de $\dim (\ker A)$ en lugar de $\dim (\operatorname{im} A)$ que se parece al argumento de tu post.

Answer 2

Cualquier $m\times n$ matriz $A$ con $m$ filas y $n$ columnas representa una transformación lineal, que actúa sobre vectores de $\mathbb{R}^n$ y produce vectores en $\mathbb{R}^m$ . Del mismo modo, dado un $n\times k$ matriz $B$ podemos verlo como una transformación lineal de $\mathbb{R}^k$ a $\mathbb{R}^n$ . Entonces el producto $AB$ representa la superposición de transformaciones lineales $A$ y $B$ que es una transformación lineal en sí misma.

De forma más explícita,
$$ A:\mathbb{R}^{n}\to\mathbb{R}^{m}, \quad B:\mathbb{R}^{k}\to\mathbb{R}^{n} \implies(A\cdot B) :\mathbb{R}^{k} \to \mathbb{R}^{m} $$

Para ilustrarlo, supongamos que el vector $v \in \mathbb{R}^{k}$ entonces $$ w = A\cdot B\cdot\!\!\underbrace{v}_{\in\mathbb{R}^{k}} = A\cdot\!\underbrace{B\,v}_{\in \mathbb{R}^{n}} = \underbrace{ABv}_{\in\mathbb{R}^{m}} $$ Ahora bien, el rango de una matriz es el número de vectores lineales independientes necesarios para abarcar el conjunto de todas las posibles salidas de esta matriz, es decir, la dimensión de su imagen : $$ A:\mathbb{R}^{n}\to\mathbb{R}^{m} \implies \operatorname{rank}(A) = \dim \big(\operatorname{im}(A)\big) = \dim \big\lbrace w\in \mathbb{R}^{m} \, \big| \ w = Au \ \text{ for some } \ u \in \mathbb{R}^{n} \big\rbrace \\ B:\mathbb{R}^{k}\to\mathbb{R}^{n} \implies \operatorname{rank}(B) = \dim \big(\operatorname{im}(B)\big) = \dim \big\lbrace u\in \mathbb{R}^{n} \, \big| \ u = Bv \ \text{ for some } \ v \in \mathbb{R}^{k} \big\rbrace $$ Ahora, en superposición $(A\cdot B)$ matriz $A$ actúa sobre la imagen de $B$ por lo que la imagen resultante no puede tener una dimensionalidad superior a $\operatorname{rank}(B)$ debido a la linealidad de $A$ . Por lo tanto, concluimos que $$\operatorname{rank}(AB)\leq \operatorname{rank}(B)$$ Q.E.D.

Answer 3

Consideremos la multiplicación de matrices en bloque. Sea $ b_1, b_2, \ldots, b_n $ - filas de la matriz $B$ . Multiplicar $A$ por $B$ . $$ \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & \ldots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \ldots & a_{2n} \\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\ a_{m1} & a_{m2} & \ldots & a_{mn} \\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} b_1 \\ b_2 \\ \ldots \\ b_n \\ \end{bmatrix} $$

Obviamente, en este caso las filas de $ AB $ será la combinación lineal de las filas de la matriz $ B $ con coeficientes de $A$ . Por lo tanto, la dimensión del casco lineal abarcado por las filas $ AB $ será menor o igual a la dimensión del casco lineal abarcado por las filas $ B $ . Por lo tanto, $ rankAB \le rankB $

Answer 4

Utilizaremos el hecho de que el vector fila $a^\top B$ es una combinación lineal de las filas de $B$ ponderado por los componentes de $a.$ escribamos la matriz $A$ como compuesto por las filas $\pmatrix{a_1^\top\\a_2^\top\\\vdots\\a_m^\top}.$ entonces el $i$ -en la fila de $AB$ es $a_i^\top B$ que es una combinación lineal de las filas de $B.$ es decir, cada fila de $AB$ es una combinación lineal de las filas de $A.$ que implica el que una base del espacio de filas de $B$ abarca el espacio de la fila de $AB.$ que equivale a $$rank(AB) \le rank(B). $$

Answer 5

Dado que las filas de $AB$ son combinaciones lineales de filas de $B$ tenemos $$ rank AB\le rank B $$