Confirmación de pruebas de álgebra lineal

Question

Estoy tratando de demostrar este teorema en mi libro. Dado que se proporciona sin pruebas, ¡hazme saber lo que piensas!

$\mathbf{Theorem:}$ Sea V un conjunto finito , $n$ -y que U sea un subespacio de V.

Definir, $T: V \rightarrow V$ como $$ T(v)=proj_U(v)$$ ( es decir, la proyección ortogonal)

Entonces lo siguiente es cierto;

i) T es una transformación lineal

ii) $Im(T)=U$ y $kerT=U^{\perp} $ donde $U^{\perp}$ representa el complemento ortogonal.

iii) $Dim(U)+Dim(U^{\perp})= n$

$\mathbf{Proof:}$

(i) Sea $v , w \in V$ , $k \in \mathbb R$ y que $\mathbb B=\{u_1,…u_n\}$ sea una base ortogonal para V.

entonces tenemos $$T(v)= \frac{\langle v , u_1 \rangle}{\langle u_1, u_1 \rangle}u_1 +…+ \frac{\langle v, u_n \rangle}{\langle u_n, u_n \rangle}u_n$$

y $$T(w)=\frac{\langle v , w_1 \rangle}{\langle w_1, w_1 \rangle}w_1 +…+ \frac{\langle v, w_n \rangle}{\langle w_n, w_n \rangle}w_n$$

entonces el resto se deduce invocando las propiedades del producto interno de la linealidad. Lo tengo escrito, pero me llevará mucho tiempo escribirlo, así que me pregunto si ese es el enfoque correcto.

(ii)

Debe demostrar que $Im(T) \subseteq U$ y que $U \subseteq Im(T)$

Dejemos que $w \in Im(T)$ entonces existe un $ v \in V$ tal que $T(v)=w$

y hemos visto que esto implicaría que w es sólo la proyección, es decir, una combinación lineal de vectores $u_i$ y para $U \subseteq Im(T)$ podemos simplemente tomar la proyección de $u$ sobre sí mismo. Así, mostrando $Im(T)=U$

Supongamos que $w \in U^{\perp}$ entonces $$T(w)=\frac{\langle w,u_1 \rangle}{\langle u_1, u_1 \rangle }u_1+…+\frac{\langle w , u_n \rangle}{\langle u_n, u_n \rangle}u_n=0$$ es decir, $w \in Ker(T)$ y ahora supongamos $w \ in Ker(T)$ entonces $T(w)=0$ utilizando el hecho de que para cualquier $w \in V$ tenemos $w-T(w) \in U^{\perp}$ entonces esto da $w-0 \in U^{\perp}$ es decir $w \in U^{\perp}$ es decir $Ker(T) \subseteq U^{\perp}$

(iii) Esto se deduce directamente del teorema de la nulidad del rango, que dice $dim(ImT)+dim(KerT)=dim(V)$

Hacedme saber lo que pensáis, cualquier sugerencia, etc., ¡gracias!

Answer 1

Creo que querías decir $\mathbb{B}=\{u_1,…,u_r\}$ es una base ortogonal para $U$ . Se puede ampliar, añadiendo vectores en los complementos ortogonales correspondientes, a una base ortogonal $\{u_1,…,u_r,v_{r+1},…,v_n\}$ para $V$ . No es necesario normalizar los vectores. Ahora, si $v=\sum <v,u_i>u_i+\sum <v,v_i>v_i$ entonces $T(v)=\sum<v,u_i>u_i$ . A partir de esa fórmula explícita todo es más sencillo, por ejemplo, $v\in Ker(T) \Leftrightarrow \;<v,u_i>=0,$ para todos $i=1,…,r$ lo que equivale a $v \in U^\bot$ .