En una palabra problema, dicen que un chico tiene 14 gatos, perros y cerdos de Guayana. ¿Cuáles son todas las posibles combinaciones que el individuo podría tener? No entiendo cómo resolver este problema. He intentado mis propios caminos, pero ninguno de ellos trabaja. ¿Por favor me puedes ayudar?
Respuestas
¿Demasiados anuncios?
m0j0
Puntos
181
He aquí una sugerencia sobre la aplicación de las estrellas y las barras a su problema.
El chico ha $14$ animales de alguna combinación de tipo. Los animales son las "estrellas":
$$\star\star\star\star\star\star\star\star\star\star\star\star\star\star$$
Se puede dividir comienza en tres grupos con $3-1=2$ "barras". He aquí una manera:
$$\star\star\star | \star\star\star\star\star\star | \star\star\star\star\star$$
Si decimos que el primer, segundo y tercer grupos son los gatos, los perros y los cerdos de guinea, respectivamente, entonces la situación anterior podría contar el caso de $3$ gatos, $6$ a los perros, y $5$ conejillos de indias.
Usted también puede tener algo como esto:
$$\star\star\star\star\star\star\star || \star\star\star\star\star\star\star$$
Ya no hay estrellas entre las barras, por lo tanto, no hay perros! (Lo cual es triste, pero estoy divagando.) En otras palabras, él ha $7$ gatos y $7$ conejillos de indias.
O, mucho más feliz de la situación:
$$|\star\star\star\star\star\star\star\star\star\star\star\star\star\star|$$
$14$ a los perros, y no de otros tipos.
Todo se reduce a averiguar el número de lugares que usted puede poner en los bares.
Se puede tomar desde aquí?
Markus Scheuer
Puntos
16133
También podemos solucionar el problema con una pequeña dosis de álgebra.
Cero o más gatos dan %#% $ #%
Lo mismo se aplica para los perros, así como cerdos de Guayana. Poner todo junto da cero o más gatos, perros y cerdos de Guayana: $$1+x+x^2+\cdots=\frac{1}{1-x}$ $
Ya que queremos que todas las combinaciones de $$\left(\frac{1}{1-x}\right)^3$ gatos, perros y cerdos de Guayana, calculamos
\begin{align} \color{blue}{[x^{14}]\left(\frac{1}{1-x}\right)^3}&=[x^{14}]\sum_{n=0}^\infty \binom{n+2}{2}x^n=\binom{16}{2}\color{blue}{=120} \end{align}
harambe
Puntos
26
Esta es una de las estrellas y las barras de problema.
Teorema 1: en este caso, se necesita que debemos incluir al menos uno de cada animal para ser elegido a partir del 14, esto es ${n -1 \choose k - 1}$ donde $n$ es el número de animales necesarios (14), y $k$ el número de tipos de animales bajo consideración. Hay $\binom{14 - 1}{3 - 1}$ maneras de escoger el 14 de mascotas, de tal manera que al menos un gato, al menos un perro, y al menos 1 de Conejillo de indias.
Teorema 2 Esta variación se aplica a la situación en la que tenemos que incluir la posibilidad de que uno o dos de los tipos de animales que podría ser cero: Por ejemplo, podemos contar con la posibilidad de que terminamos con 6 gatos, 0 perros, y 8 de los Conejillos de indias; y también contamos con la posibilidad de que terminamos con 14 gatos, ni perros, ni los Conejillos de indias.
En este caso, se utiliza la siguiente fórmula (ver de nuevo el enlace al Teorema 2 dada anteriormente: ${n+k - 1 \choose n }$ donde $n$ es el número de animales que buscan, y $k$ es el número de tipos para elegir, por lo que en este caso, tenemos ${ 14 + 3 - 1 \choose 14} = \binom{16}{14}=\binom{16}{2} = \frac{16!}{14!\cdot 2!}$
Jinesh Choksi
Puntos
86
Esto es cómo voy modelo: cada o (de un total de 14) representa uno de los animales y hay dos / dividirlos en tres grupos; el primer grupo será el de los gatos, la segunda perros y el último de los cerdos.
Un ejemplo de demostración: ooo/oo/ooooooooo Esto es 3 gatos, 2 perros y 9 cerdos.
Tienes la idea. Así que, básicamente, la pregunta es ¿cuántas permutaciones de 14 o y 2 /'s existe. La respuesta es $\frac{16!}{14!2!}$, que es "el 16 de elegir 2".
Aviso que este modelo permite a cero el número de animales tales como /s/ooooooooooooo es 0 gatos, 1 perro, 13 de cerdos. Si desea que al menos 1 de cada uno, a continuación, asignar 1 a cada uno, dejando $14-3=11$ libre de tareas y se repite la idea anterior como si usted tiene 11 animales en total, en el extremo que usted agregue más de 1 de cada número, porque es pre-asignado 1 a cada uno para evitar que cero número para cada uno de ellos.
Si el número de animales es $x$ (en lugar de 14), y el número de tipo de animales es $y$ (en lugar de 3), la fórmula se reduce a "(x+y-1) (y-1)"
