Completar el espacio como un discontinuo contables de la unión de conjuntos cerrados

Question

Es una consecuencia de Baire teorema de que un conectado, conectado localmente completar el espacio no puede ser escrito $$ X = \bigcup_{n \geq 1}\ F_n$$ donde el $F_n$ son no vacíos, de a pares distintos conjuntos cerrados.

¿Alguien sabe de un contra-ejemplo a este si no suponemos que el espacio para ser conectado localmente?

Answer 1

Si $e_n$ son el estándar de la unidad de vectores en $\ell^2$, vamos a $F_j$ consisten en línea los segmentos de $e_j$ $(1/j) e_j + e_k$$1 \le k < j$($F_1$ es el único punto de $e_1$). A continuación, el $F_j$ son distintos, cerrado y conectado, y su unión es cerrado y conectado.