Multiplicación derecha en $\mathbb{R}^{\infty}$

Question

Si $X=(x_1,x_2,\dots)$ es un infinito real vector fila y $A=(a_{ij}),0<i,j< \infty$ es un infinito real de la matriz, uno puede o no puede ser capaz de definir la matriz producto $XA$. Para que Una se puede definir a la derecha de la multiplicación en el espacio $\mathbb{R}^\infty$ de todos los infinitos vectores fila ? en el espacio de $Z$ define como $Z=\{(a) \in \mathbb{R}^{\infty}|a_n=0 \text{for all but finitely many n} \}$

$\textbf{My attempt: }$ $X$ es un infinito Real Fila de la matriz, tales como, $X = (x_1, x_2, \dots) = (x_n)$ donde $n = 1, 2,\dots$ Y $A$ es también un infinito real de la matriz, tales como, $A = (a_{ij})$ Pasamos ahora a la más general de la matriz por la matriz producto, y considerar las operaciones que intervienen en el cálculo del producto $C$ de dos matrices $A$$X$: $C = XA$

Deje $A=(a_{ij})_{ij}$ ser la matriz de orden $i \times j$ donde $0<i$ y $j< \infty$, $X=(x_1 \cdots x_n)$ ser la fila de la matriz de orden $1 \times n$ $C=(c_{ik})_{ik}$ es posible sólo cuando el yo es el mismo para ambos infinito de las matrices.

$C=XA=\sum_{j=1}^n x_na_{ij}$

Esta suma se define sólo si $n=i$

Por lo tanto, se puede definir el producto $XA$ más de espacio infinito $\mathbb{R}^{\infty}$ dado que la condición anterior se cumple.

Es correcto? ¿Cómo debo proceder en Z?

Answer 1

Dado$X,A$, podemos definir el producto si por cada$i$, la serie$\sum_jx_ja_{ji}$ converge. Si tenemos que definir el producto para todos$X$, se deduce que las matrices$A$ deben cumplir los criterios de que para todos$i$ existe$N$ de manera que$a_{ji}=0$ para $j>N$.

Answer 2

Para multiplicar $X$$A$, la suma de $x_1 a_{1j} + x_2 a_{2j} + \dots$ debe tener sólo un número finito distinto de cero términos. En orden para que esto sea cierto para todos los vectores fila $X$, la columna de $(a_{ij}, a_{2j}, \dots)$ debe tener sólo un número finito de entradas diferentes de cero. Por lo $A$ debe ser una columna infinita de la matriz.

Para multiplicar al $X \in Z$, es decir, $X$ tiene un número finito distinto de cero elementos, también podemos utilizar una matriz arbitraria $A$. Sin embargo, si queremos que la respuesta $XA$ a ser un elemento de $Z$ por cada $X \in Z$, entonces las filas de $A$ debe tener un número finito de entradas diferentes de cero: $A$ debe ser una fila infinita de la matriz. Esto es visto por tratando de $X = e_i$.