Un anillo $R$ que se puede escribir como una suma directa de dos ideales.

Question

Deje $R$ ser un unital asociativa anillo y

$$R=A\oplus B,$$

donde $A$ es un dos caras ideal de $R$ $B$ es un derecho ideal de $R$. De lo anterior se sigue que el $B$ es un dos caras ideal de $R$?

Me siento como la respuesta debe ser sí. Decir que me tome un arbitrario $(r,s)\in R$, necesito mostrar que $(r,s)b\in B$ todos los $b\in B$. Pero un elemento de $B$ sólo puede ser escrito como $(0,b)$ algunos $b\in R$, por lo que

$$(r,s), (0,b)=(0,sb)\en B.$$

Me siento como que me falta algo y que no es tan sencillo, ya que no estoy usando el hecho de que $R$ es unital a todos. Lo que me estoy perdiendo aquí?

Answer 1

Contraejemplo

Deje $R$ ser un anillo con identidad y una adecuada ideal $A$, y supongamos también que hay un elemento distinto de cero $e\in A$ tal que $ea=a$ todos los $a\in A$, y sin embargo existe una $a'\in A$ tal que $a'e\neq a'$. (Por ejemplo, usted podría tener cualquier rng $A$, con una izquierda identidad $e$ que no es un derecho de identidad, y, a continuación, unitize en la forma estándar en el ring $R=\mathbb Z \times A$.)

Ahora vamos a $B$ ser el sub-anillo $(1-e)R(1-e)$, y considerar la sub-anillo de $R$$S=A+B$. Es importante recordar que el $e$ es idempotente y por lo $e(1-e)=0$. Observe también que $1=e + (1-e)\in A+B$.

Claramente $A\cap B=\{0\}$, porque si $a=(1-e)r(1-e)$, luego a la izquierda de la multiplicación por $e$ rendimientos $a=ea=0$. De haber mostrado esto, ahora tenemos que $S=A\oplus B$. $A$ sigue siendo un ideal en $S$ desde que era un ideal en $R$. Además $B^2\subseteq B$, e $BA\subseteq B$ (de hecho, $BA=\{0\}$) por $B$ es un derecho ideal de $S$.

Por supuesto, $a'(1-e)\in A\setminus \{0\}$, y no puede ser en $B$ desde $A\cap B=\{0\}$. Sin embargo,$a'(1-e)\in AB$, así que podemos ver que $B$ no absorbe la multiplicación por la izquierda en $S$, lo $B$ no es una izquierda ideal.

Answer 2

Si $R = A\oplus B$ significa que el $R$ es la suma directa de dos subgrupos aditivo $A$ $B$ y $A$ pasa a ser 2 caras ideal mientras que $B$ pasa a ser un derecho ideal, entonces no necesita ser cierto que $B$ es un ideal de 2 caras.

Ejemplo. $R$ es el anillo de % triangular superior $2\times 2$matrices sobre un campo, $A$ es el ideal de $R$ de matrices de la forma $\left[\begin{matrix} &\0&0\end{matrix}\right]$and$B$is the right ideal of$R$consisting of matrices of the form$\left[ $$\begin{matrix} 0&0\0&*\end{matrix}$$ \right]$.