Integral sobre X como supremum de integrales sobre los subconjuntos finitos de X.

Question

Estoy tratando de demostrar que
$$\int f d\mu = \sup \left\lbrace \int_E f d \mu, E \in S, \mu(E)< \infty \right\rbrace,$$ dado que $\int f d\mu < \infty$. $f$ es positivo medible función $f:X\rightarrow \mathbb{R}$. $S$ es $X$'s $\sigma$-álgebra.

Intento: Ya que para todas las $E \in S$, es cierto que $E \subset X$, entonces obtenemos $f\chi_E\le f$, a partir de que $$\int_E f \le \int f .$$

De ello se sigue que: $$\sup \left\lbrace \int_E f d \mu, E \in S, \mu(E)< \infty \right\rbrace \le \int f d\mu.$$

Quiero mostrar que: $$\int f d\mu \le \sup \left\lbrace \int_E f d \mu, E \in S, \mu(E)< \infty \right\rbrace.$$

Mediante la exhibición de $E\in S$ satisfacción: $\mu(E)<\infty,$ tal que $\int f \le \int_E f$, como me gustaría entonces tanto inequatities, lo que demuestra la igualdad.

Estoy teniendo problemas tratando de usar la hipótesis: $\int f d\mu < \infty$. Traté de construir una secuencia de funciones de $f_n$ cuyo límite inferior se $f$ a fin de aplicar Fatou del lema, pero no sé si $\mu(X)<\infty,$, por lo que este enfoque me llevan a ninguna parte.

Alguien tiene alguna idea sobre cómo proceder?

Gracias de antemano.

Answer 1

Usted puede trabajar directamente a partir de la definición.

Desde $f$ es integrable, tenemos una secuencia $s_n$ de simples funciones medibles tales que $0 \le s_n \le f$$\int s_n \to \int f$.

Cada una de las $s_n$ tiene la forma $s_n = \sum \alpha_k 1_{A_k}$ donde $\alpha_k > 0$ e las$A_k$ son medibles, $\mu A_k < \infty$ y, sin pérdida de generalidad, sea distinto. Deje $E_n = \cup A_k$. A continuación,$\mu E_n < \infty$. Luego tenemos a $s_n \le f \cdot1_{E_n}$, y, por tanto,$\int s_n \le \int f \cdot1_{E_n} = \int_{E_n} f \le \int f$. El resultado que sigue, ya $\int s_n \to \int f$.

(Nota: El hecho de que $\mu A_k < \infty$ sigue de $\int s_n = \sum_k \alpha_k \mu A_k \le \int f < \infty$, e $\alpha_k >0$.)

Anexo: Tenemos $\sup \{ \int_E f | \mu E < \infty \} \ge \int_{E_n} f$. Desde $\int_{E_n} f \to \int f$,$\sup \{ \int_E f | \mu E < \infty \} \ge \int f$, según se requiera.

Answer 2

Que $$E_n= {x\in X\ | \frac1{n-1} \geq f(x)>\frac1{n} }$$ with $\frac10=\infty$

Claramente $\mu (En)$ es finito o bien $\int fd\mu=\infty$ y $$\int fd\mu=\int{\cup E_n} fd\mu= \sumn \int{E_n} fd\mu

Convergencia de la serie de los números reales positivos, entonces la cola debe ir a cero. Por lo tanto, cualquier $\epsilon>0$, existe un $M$ tal que % $ $$\int fd\mu

Así $\sup { \int_E fd\mu\ |\ \mu (E)