Estimar la suma de una serie ($\ell^1$ norma) en términos de dos normas ponderadas$\ell^2$

Question

¿Existe un $C > 0$ tal que \sum_{n \geq $$ 1} an \leq C \left (\sum{n \geq 1} 2 ^ n an ^ \right)^{1/4 2} \left (\sum{n \geq 1} 2 ^ {-n} a_n ^ \right)^{1/4 2} $$ % todo $a_n \geq 0$con rhs finito?

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Progreso. No solo ${a_n}n$puede ser un contraejemplo, porque implica de$\sum{n\geq1} 2^n a_n^2

El fuerte valor de $C$ para las secuencias de la forma $a_n = 2^{-\delta n}$ $\delta > 1/2$ es $C = (71 + 17\sqrt{17})^{1/4} / (2\sqrt{2}) \approx 2.20457$. Esto es decir que $C > 1$, si es que existe.

Answer 1

Funciona con $C=4$. Se puede mejorar un poco si alguien quiere.

Deje $S=\sum_{n \geq 1} a_n$.

Caso 1: No existe $N$ tal que $a_N\ge S/4$. A continuación, el lado derecho de la desigualdad anterior es por lo menos $$\Big(2^N (S/4)^2\Big)^{1/4}\Big(2^{-N} (S/4)^2\Big)^{1/4} = \frac{S}{4}$$

Caso 2: no es $N$ anterior. A continuación, vamos a $N$ ser el entero más pequeño tal que $\sum_{n<N} a_n\ge S/4$. Observar que $\sum_{n< N} a_n\le S/2$ debido a la minimality de $N$. Ya que también se $a_N<S/4$,$\sum_{n>N} a_n\ge S/4$. Por Cauchy-Schwarz

$$\frac{S}{4}\le \sum_{n>N} 2^{-n/2} 2^{n/2}a_n \le \left( \sum_{n>N} 2^{n}\right)^{1/2}\left( \sum_{n>N} 2^n a_n^2\right)^{1/2}$$ por lo tanto $$\left( \sum_{n } 2^n a_n^2\right)^{1/2} \ge 2^{N/2}\frac{S}{4} \tag1$$ Del mismo modo, $$\frac{S}{4}\le \sum_{n<N} 2^{n/2} 2^{-n/2}a_n \le \left( \sum_{n<N} 2^{n}\right)^{1/2}\left( \sum_{n<N} 2^{-n} a_n^2\right)^{1/2}$$ por lo tanto $$\left( \sum_{n } 2^{-n} a_n^2\right)^{1/2} \ge 2^{-N/2}\frac{S}{4} \tag2$$ Multiplicar (1) y (2) y tomar la raíz cuadrada.