Tolomeo ' teorema s de cónicas

Question

Ptolomeo del teorema dice:

Un cuadrilátero puede estar inscrito en una circunferencia si y sólo si el producto de las medidas de sus diagonales es igual a la suma de los productos de las medidas de los pares de lados opuestos.

Un hecho muy interesante es que sus corolarios son de Pitágoras teorema y la ley de los cosenos.

Hay una generalización de este teorema para cónicas? Y esos teorema de tener más interesante corolarios?

Answer 1

Demasiado largo para un comentario ...

Una Ptolomeo-como Teorema de conic-inscriptable hexágonos "puede" ser obtenido a partir de un cierto polinomio sistema.

Deje que el hexágono tienen vértices $P_i := (x_i, y_i)$ $i = 0, ..., 5$ (con índice de aritmética hecho modulo 6), y definir $d_{ij} := |\overline{P_i P_j}|$. Para mayor comodidad, tomamos $P_0 = (0,0)$$P_1 = (d_{01}, 0)$. Podemos escribir las cinco ecuaciones de la forma $$d_{ij}^2 = (x_i - x_j)^2 + (y_i-y_j)^2$$ para las distancias entre vértices consecutivos (sólo cinco años, porque ya hemos representaron $d_{01}$), y tres para las distancias de la "larga" de las diagonales $d_{i,i+3}$. Uno más de la ecuación codifica la condición de que el $P_i$ mentira sobre una cónica: $$\left| \begin{array}{cccccc} 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ d_{01}^2 & 0 & 0 & d_{01} & 0 & 1 \\ x_2^2 & y_2^2 & x_2 y_2 & x_2 & y_2 & 1 \\ x_3^2 & y_3^2 & x_3 y_3 & x_3 & y_3 & 1 \\ x_4^2 & y_4^2 & x_4 y_4 & x_4 & y_4 & 1 \\ x_5^2 & y_5^2 & x_5 y_5 & x_5 & y_5 & 1 \end{array}\right| = 0$$

Que nueve ecuaciones en ocho desconocido $x$ - $y$- valores. Teóricamente, podemos eliminar las incógnitas a determinar una ecuación que involucra solamente las distancias, $d_{ij}$. Por desgracia, la fuerza bruta el proceso de eliminación, mediante, por ejemplo, el método de como resultado, genera rápidamente intermedio de polinomios con decenas de miles de términos que ahogan mi copia de Mathematica, así que no puedo decirle si nada parecido a una sana relación en última instancia surge. Quizás una manera más inteligente enfoque tendría éxito.

También he intentado explotar el Ceva-como la propiedad de Pascal del Hexágono Teorema, sin éxito (hasta ahora).