¿Cómo demostrar si estos espacios metrizable?

Question

Vamos $$\mathcal{B}_0=\{[a,b):a,b\in\mathbb{R},a<b\}$$ and $$\mathcal{B}_1=\{[a,b):a\in\mathbb{Q},b\in\mathbb{R},a<b\}.$$

Deje $\sigma$ $\tau$ ser las topologías más de $\mathbb{R}$ generado por la base de $\mathcal{B_0}$$\mathcal{B_1}$, respectivamente.

Son estos espacios metrizable?

a) $(\mathbb{R},\sigma)\times(\mathbb{R},\sigma)$

b) $(\mathbb{R},\sigma)\times(\mathbb{R},\tau)$

c) $(\mathbb{R},\tau)\times(\mathbb{R},\tau)$

Así, para la parte $a)$, $(\mathbb{R},\sigma)$ es sólo el Sorgenfrey línea y es fácilmente demostrado que $(\mathbb{R},\sigma)\times(\mathbb{R},\sigma)$ no es normal por Jones' lexema. Por lo tanto, este espacio no puede ser metrizable porque cada espacio métrico es normal.

Cómo sobre b) y c)? Me podría dar alguna pista?

Puedo utilizar metrizations teoremas. Por ejemplo Urysonh teorema (regular + segundo contables implica metrizable) y Nagata-Smirnov (aunque creo que Nagata-Smirnov es demasiado pesado teorema).

Gracias a todos.

Answer 1

Para (b): $R_1=(R,\sigma)$, que no es metrizable, es homeomórficos para el subespacio $R_1\times \{0\}$ del espacio $R_1\times (R,\tau)$. Un espacio metrizable no tienen un no-metrizable subespacio......Para (c), si $x\in Q$ deje $B_x= \{[x,x+q):q\in Q^+\}.$ Si $x\in R\backslash Q$ deje $B_x=\{[q_1,q_2):q_1,q_2\in Q\land q_1<x<q_2\}.$ $(R,\tau)$ la familia $B_x$ es una base local en$x$, y cada miembro de $B_x$ es cerrado. Por lo $(R,\tau)$ está totalmente desconectada y es por lo tanto un $T_{3\frac {1}{2}}$ espacio.Desde el Urysohn teorema es metrizable. De ahí su plaza es metrizable....... Nota : Otra manera de demostrar que la Sorgenfry línea no es metrizable: Si ($X,d)$ es un espacio métrico y $D$ es un subconjunto denso de $X$ $\{B_d(p,q) :p\in D\land q\in Q^+\}$ es una base. Así que un separable espacio metrizable es segundo contable. Ahora $Q$ es denso en $ R_1=(R,\sigma)$ pero si $B$ es cualquier base para $R_1,$ $x\in R$ deje $y_x>x$ $f(x)\in B$ tal que $[x,y_x)\subset f(x)\in B.$ $f:R\to B$ es 1-a-1 (debido a que $\min f(x)=x$) por $B$ es incontable.