Continuidad absoluta de la suma de dos variables aleatorias de Cantor

Question

Si tenemos dos variables aleatorias independientes, cada una teniendo un Cantor de distribución hay una manera fácil de ver que la distribución de la suma de los mismos no es absolutamente continua?

Estoy bastante seguro de que si dejamos $S_n$ el conjunto de los enteros positivos de tener un $n$ dígitos ternarios de expansión (los ceros a la izquierda incluido) con $n/2$ o más de 1, y vamos a $$T_n = \left\{\frac{2s+1}{3^n}:s\in S_n\right\}$$ A continuación, nuestra variable aleatoria tiene más de una 50-50 posibilidad de estar dentro de $3^{-n-1}$ de un miembro de $T_n$. Como el número de intervalos crece como $2^n$, y su anchura se reduce al $3^{-n}$, la medida de toda cosa va de 0 $n$ va al infinito. (Se dieron algunos handwaving y aritmética para llegar aquí, así que no confía en mí.)

En el mejor de los mundos posibles, no sería un argumento que funciona para la continuidad absoluta de la suma de tres (o cualquier número) de independiente Cantor variables Aleatorias.

Answer 1

La característica de la función de Cantor distribución resuelve la ecuación funcional $$ \varphi_C(t) = \frac12(e^{i2t/3} + 1) \varphi_C(t/3)\etiqueta{1} $$ (hay una fórmula explícita con los cosenos, pero esto es suficiente para nosotros).

En particular, $\varphi_C(\pi) = \varphi_C(3\pi) = \varphi_C(3^2\pi) = \dots$ Si este valor fuera cero, entonces podemos obtener a partir de (1) que $\varphi(3^{-n}\pi) = 0$, $n\ge 1$, lo que se contradice con la continuidad de $\varphi_C$ (de lo contrario, se puede utilizar la fórmula con los cosenos para argumentar que no es cero).

Así, para cada $n\ge 1$ hemos $$0\neq \varphi_C(\pi)^n = \varphi_C(3\pi)^n = \varphi_C(3^2\pi)^n = \dots\tag{2}$$ If the sum of $n$ independent Cantor variables had a density, we would have $\varphi_C(t)^n\to 0$, $t\to\infty$ por el de Riemann-Lebesgue lema, contradiciendo (2).

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Yo prefiero el argumento uso de la recursividad (1) para el uno con el consentimiento explícito de la fórmula, como se (o inteligente modificación) puede ser usado para demostrar que algunas de las otras series aleatorias no tienen una densidad.