Diferencias en el $\varnothing$, {$\varnothing$} y $\subseteq$

Question

Cuál es la diferencia entre

{$\varnothing$} $\subseteq$ {$\varnothing$, {$\varnothing$}},

{{$\varnothing$}} $\subseteq$ {$\varnothing$, {$\varnothing$}},

y

{{$\varnothing$}} $\subseteq$ {{$\varnothing$}, {$\varnothing$}},

¿donde $\varnothing$ es el conjunto vacío?

Answer 1

$\varnothing$ es el conjunto vacío no tiene elementos.

$\{\varnothing\}$ es un conjunto que contiene exactamente un elemento; que es el elemento $\varnothing$ (una bolsa que contiene un saco vacío no está vacío).

$\bigl\{\{\varnothing\}\bigr\}$ es un conjunto cuyo único elemento es el conjunto cuyo único elemento es $\varnothing$. Es diferente de $\varnothing$ (que no tiene elementos), y de $\{\varnothing\}$ (que tiene un solo elemento que no tiene elementos, mientras que el único elemento de $\bigl\{\{\varnothing\}\bigr\}$ no tiene elementos).

Y $\bigl\{ \{\varnothing\},\{\varnothing\}\bigr\} = \bigl\{ \{\varnothing\}\bigr\}$, por el Axioma de Extensionality: dos conjuntos de $A$ $B$ son iguales si y sólo si para cada $x$, $(x\in A\leftrightarrow x\in B)$ que tiene aquí.

Así que la primera declaración dice que $\{\varnothing\}$ es un subconjunto de a $\bigl\{\varnothing,\{\varnothing\}\bigr\}$; esencialmente, que los $\varnothing$ es un elemento del conjunto de la derecha; true.

La segunda declaración se dice que $\bigl\{\{\varnothing\}\bigr\}$ es un subconjunto de a $\bigl\{\varnothing,\{\varnothing\}\bigr\}$; de nuevo, en esencia, que $\{\varnothing\}$ es un elemento del conjunto a la derecha; también es cierto, pero una diferente de la declaración de la primera (se refiere a los diferentes elementos).

La tercera declaración dice que $\bigl\{\{\varnothing\}\bigr\}$ es un subconjunto de a $\bigl\{\{\varnothing\},\{\varnothing\}\bigr\} = \bigl\{ \{\varnothing\}\bigr\}$; es decir, que $\{\varnothing\}$ es un elemento de $\bigl\{\{\varnothing\}\bigr\}$. También, es cierto.