Derivados del conmutador de flujos (o, ¡¿qué hacen esos derivados superiores en mi espacio tangencial?!)

Question

Deje que $p \in M$ ser un punto en un colector y dejar $ \varphi ^X_t$ y $ \varphi ^Y_t$ sean los flujos locales de los campos de vectores $X$ y $Y$ respectivamente. Definir el conmutador de flujos: $ \alpha (t)= \varphi ^Y_{-t} \varphi ^X_{-t} \varphi ^Y_t \varphi ^X_t$ . Estoy tratando de probar:

$$ \left . \frac {d}{dt} \right |_{t=0} \alpha ( \sqrt {t})=[X.Y]_p$$

Me las arreglé para probar que $ \left . \frac {d}{dt} \right |_{t=0} \alpha (t) =0$ y que implica que:

$$ \left . \frac {d}{dt} \right |_{t=0} \alpha ( \sqrt {t})=2 \left . \frac {d^2}{dt^2} \right |_{t=0} \alpha (t)$$

Pero al tratar de calcular las segundas derivaciones me quedé atascado con expresiones como estas:

$$ \left . \frac {d}{dt} \right |_{t=0}\ (X_{ \varphi ^X_t} \cdot \varphi ^Y_{-t} \varphi ^X_{-t} \varphi ^Y_t)$$

Y me di cuenta de que no estoy tan seguro de cómo funcionan las segundas derivaciones. ¿Puedo usar la regla del producto en la expresión anterior? Lo más alarmante es que el conmutador es en sí mismo una segunda derivación, así que ¿cómo es que es un campo vectorial? (obviamente lo es).

Si todos los conmutadores son campos vectoriales (y todos los conmutadores de ellos también lo son y etc.) esto significa que todos estos derivados superiores son en realidad derivados de primer orden? ¿Qué es lo que sucede?

¿Hay más derivados superiores como estos que no son conmutadores pero que siguen siendo derivados de primer orden?

Answer 1

Aquí hay una forma de hacer los cálculos como este un poco más fácil:

En coordenadas, escribe $ X = X^i\; \partial_i $ . Entonces..: $$ \varphi ^X_t(p) \approx p^i + t \; X^i(p) + \frac {t^2}{2} X^j(p) \; \partial_j X^i(p) + O(t^3) $$ Puedes comprobar entonces que $$ \frac {d}{dt} \varphi ^X_t(p) = X^i(p) + t X^j(p) \partial_j X^i(p) + O(t^2) \\ = X^i(p^i + t \; X^i(p)) + O(t^2) \\ = X^i( \varphi ^X_t(p)) + O(t^2) $$ donde Taylor se expandió $ X^i $ .

Componiendo el siguiente flujo, (y taylor expandiendo $ Y^i( \varphi ^X_t(p)) $ y la caída de los términos de $ O(t^3) $ ), tengo algo como: $$ \varphi ^Y_t \varphi ^X_t(p) = p^i + t X^i + \frac {t^2}{2} X^j \partial_j X^i + t Y^i + \frac {t^2}{2} Y^j \partial_j Y^i + t^2 X^j \partial_j Y^i $$ Ya que estoy cansado de escribir las fórmulas largas, puedes terminar componiendo los dos últimos flujos. Lo afortunado es que los términos $ \frac {t^2}{2} X^j \partial_j X^i $ se cancelará. El único problema es que me quedo con $ 2 [X, Y] t^2 $ ...así que estoy fuera por un factor de 2.

P.D. Me muero por saber qué error de imprenta sugiere que los flujos son educados.