$\frac{a_n}{b_n}=\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k}$ están en sus términos más bajos.

Question

Deje$$\frac{a_n}{b_n}=\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k}$ $ estar en sus términos más bajos (es decir,$\gcd(a_n,b_n)=1$). Demuestre lo siguiente:

1. hay infinitos$n$ de manera que$b_{n+1}<b_n$.
2. hay infinitos$n$ de manera que$a_n$ no es una potencia de un primo.

No tengo idea de cómo abordar este problema. Cualquier sugerencia será apreciada.

Answer 1

En este problema elijo$$n = 2\times3^k-1,m=\operatorname{lcm}(1,2,3...,n)$ $ e denote$v_3(a)$ es el máximo exponente en el factor primo de entero$a$. Podemos ver que$$\frac{a_n}{b_n} = \frac{\sum_{i=1}^n \frac{m}{i}}{m}$ $ y$$\sum_{i=1}^n \frac{m}{i}$ $ No divisible$3$ después de la fracción irreducible, tenemos$2 \mid b_n$ y$3^k \mid b$, así que tenemos$n+1=2.3^k|b_n$, pero$$\frac{a_{n+1}}{b_{n+1}}=\frac{a_n+\frac{b_n}{n+1}}{b_n}$ $ Porque LHS es una fracción irreducible, entonces tenemos$b_{n+1}\mid b_n$ y$v_3(b_n) \geq k > k-1 \geq v_3(b_{n+1})$. Entonces hemos terminado.