Si . Demostrar que:

Question

Si $\sin^{-1} (x) + \sin^{-1} (y)+ \sin^{-1} (z)=\dfrac {\pi}{2}$, demostrar que: $$x^2+y^2+z^2+2xyz=1$ $

Mi intento: $$\sin^{-1} (x) + \sin^{-1} (y) + \sin^{-1} (z)=\dfrac {\pi}{2}$ $ $$\sin^{-1} (x\sqrt {1-y^2}+y\sqrt {1-x^2})+\sin^{-1} (z)=\dfrac {\pi}{2}$ $ $$\sin^{-1} (x\sqrt {1-y^2} + y\sqrt {1-x^2})=\dfrac {\pi}{2} - \sin^{-1} (z)$ $

Answer 1

Let: $\sin^{-1}x=\alpha$, $\sin^{-1}y=\beta$, $\sin^{-1}z=\gamma$. Sabemos que $\alpha+\beta+\gamma={\pi\over2}$, que es: $\gamma={\pi\over2}-\alpha-\beta$ y $$\sin\gamma=\cos(\alpha+\beta)=\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta.$ $ tenemos entonces: $$\begin{align} &x^2+y^2+z^2+2xyz=\ &\sin^2\alpha+\sin^2\beta+\sin^2\gamma+2\sin\alpha\sin\beta\sin\gamma=\ &\sin^2\alpha+\sin^2\beta+(\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta)^2 +2\sin\alpha\sin\beta(\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta)=\ &\sin^2\alpha+\sin^2\beta+\cos^2\alpha\cos^2\beta-\sin^2\alpha\sin^2\beta=\ &\sin^2\alpha(1-\sin^2\beta)+\sin^2\beta+\cos^2\alpha\cos^2\beta=\ &\sin^2\alpha\cos^2\beta+\sin^2\beta+\cos^2\alpha\cos^2\beta=\ &(\sin^2\alpha+\cos^2\alpha)\cos^2\beta+\sin^2\beta=\ &\cos^2\beta+\sin^2\beta=1 \end {Alinee el} $$

Answer 2

Dicho de otro modo, si $\alpha+\beta+\gamma=\frac \pi2$ y $$ \tag1\sin^2\alpha+\sin^2\beta+\sin^2\gamma+2\sin\alpha\sin\beta\sin\gamma=1.$ $ vamos a investigar cómo la mano izquierda lado aries si mantenemos $\gamma $ fijo, que es, consideramos $$\tag2 \sin^2(\alpha+t)+\sin^2(\beta-t)+\sin^2\gamma+2\sin(\alpha+t)\sin(\beta-t)\sin\gamma$ $ y calcular su derivada $\frac d{dt}$ $t=0$: $$\begin{align}&2\sin \alpha\cos \alpha-2\sin \beta\cos\beta+2(\cos\alpha\sin\beta-\sin\alpha\cos\beta)\sin\gamma\ ={}&\sin2\alpha-\sin 2\beta-2\sin(\alpha-\beta)\sin\gamma\ {}={}&2\cos(\alpha+\beta)\sin(\alpha-\beta)-2\sin(\alpha-\beta)\sin\gamma\ ={}&2\sin\gamma\sin(\alpha-\beta)-2\sin(\alpha-\beta)\sin\gamma\={}&0\end {Alinee el} $$ concluimos que $(2)$ es constante en función de $t$. Por lo tanto, es suficiente para mostrar $(1)$ para el caso $\beta=0$ (es decir, $t=\beta$), es decir, que estamos reducidos a mostrar

Si $\alpha+\gamma=\frac\pi2$ y $\sin^2\alpha+\sin^2\gamma=1$.

Pero por supuesto que es cierto.

Answer 3

Quiero mostrar una ligera variación de Aretino bueno la prueba de que no presupone el conocimiento de la identidad que queremos demostrar, sino que se deriva de la ecuación dada. Necesitamos la identidad de $\cos(\sin^{-1}(a)) = \sqrt{1-a^2}$ así como

$$ \sin(a+b+c) = \sum\limits_{cyc} \Big(\sin(a)\cos(b)\cos(c)\Big)-\sin(a)\sin(b)\sin(c) $$

Así, mediante la aplicación de $\sin$ a ambos lados de $\frac \pi2 = \sin^{-1} (x) + \sin^{-1} (y)+ \sin^{-1} (z)$ deducimos

$$ 1 = \sum_{cyc} \Big( x\sqrt{1-y^2}\sqrt{1-z^2}\Big)- xyz $$

Por otro lado, si resolvemos la ecuación original para cualquiera de las variables, digamos, $x$ obtenemos:

$$ x = \sqrt{1-y^2}\sqrt{1-z^2} - yz $$

Que podemos conectar en la anterior ecuación para eliminar las raíces:

$$ 1 = \sum_{cyc} \Big( x(x+yz)\Big)- xyz = x^2+y^2+z^2 +2xyz$$