Es $2^{|\mathbb{N}|} = |\mathbb{R}|$ ?

Question

Es $2^{|\mathbb{N}|} = |\mathbb{R}|$ ? Si es así, ¿cómo?

Estaba leyendo la página de la Wiki sobre el , y dice "Además, $\mathbb{R}$ tiene el mismo número de elementos que el conjunto de potencias de $\mathbb{N}$ ", pero no veo que esto sea cierto.

Me parece que tiene algo que ver con el binario, pero no estoy muy seguro de cómo funciona? ¿Tengo que mostrar un mapa de todos los reales se puede hacer en binario? ¡Estoy muy confundido, y cualquier consejo sería apreciado!

Answer 1

En resumen: Un número binario $0.a_1a_2a_3\ldots$ puede identificarse con el conjunto $\{n\in \mathbb N\mid a_n\ne 0\}$ . Sin embargo, hay que comprobar algunos detalles

Answer 2

Se puede tener una biyección de $\{0,1\}^{\mathbb N}$ a $\mathbb P(\mathbb N)$ . Tome el vector $a\in \{0,1\}^{\mathbb N} $ y asignarlo a $A\subset \mathbb N$ con $i \in A \Leftrightarrow a_i = 1$ . (Es fácil demostrar que es una biyección)

Ahora como $|\mathbb P(\mathbb N)| = |\mathbb R|$ se puede construir una biyección a partir de $\{0,1\}^{\mathbb N}$ a $\mathbb R$ . Tenga en cuenta que he utilizado $\{0,1\}$ en lugar de sus 2.