Deje $A$ $B$ dos no vacía de subconjuntos de a $\mathbb{R}$ que son delimitadas por encima.
$(i)$Demostrar que $A ∪ B$ está delimitado por encima de
y probar
$(ii)$ que $\sup(A ∪ B) = \max(\sup(A),\sup(B))$.
para $(i)$ 1er intento
Por el axioma de completitud, $\sup A$ $\sup B$ existen como $A$ $B$ no vacía de conjuntos que están delimitadas por encima.
A continuación, $\{A \cup B\} \leq \max(\sup A , \sup B) $ y, por tanto, $A \cup B$ están delimitadas por encima.
2º intento
Definir $\alpha$ como algunos límite superior para $A$ $\beta$ como algunos límite superior para $B$.
A continuación, $\forall a \in A, \alpha \geq a \space \text{and} \space \forall b \in B, \beta \geq b$
A continuación, $\max(\alpha,\beta) \geq \text{all} \space x \in A \cup B$ desde $x \in A$ o $x \in B$ $A \cup B$ está delimitado por encima.
Son cualquiera o ambas de estas pruebas rigurosas?
$(ii)$ Tenemos que mostrar que $\sup (A \cup B) \geq \max(\sup A, \sup B)$ también $\sup (A \cup B) \leq \max(\sup A, \sup B)$
Para todos los $x \in A \cup B$, $x \in A \implies x \leq \sup A$ o $x \in B \implies x \leq \sup B$
A continuación, $x \leq \max(\sup A, \sup B)$ $\sup (A \cup B) \leq \max( \sup A, \sup B)$
Por otra parte, es obvio que $\sup(A \cup B) \geq \sup A$ $\sup (A \cup B) \geq \sup B \implies \sup (A \cup B) \geq \max(\sup A, \sup B)$ y por lo tanto $\sup (A \cup B) = \max(\sup A, \sup B)$
Todavía soy bastante nuevo en la prueba de escritura así que agradecería cualquier y todas las críticas - por favor sea tan duro como sea posible.
Gracias
