Supongamos que $n$ es un número entero que es impar y $n > 1$ . Tenemos la función $S(a)$ que $a$ es una permutación de números $\{1,2 \ldots ,n\}$ y $S(a) = > c_1a_1 + c_2a_2 + ... + c_na_n$ ( $c_i$ son todas constantes)
Demostrar que existen dos permutaciones diferentes $a, b$ que:
$n! \ | \ S(a)-S(b)$
¿Cómo puedo demostrar esta afirmación?
Supongamos que $c_1,...,c_n$ son números enteros, y $n>1$ es un número entero impar.
Sea $P$ es el conjunto de todas las permutaciones de $\{1,...n\}$ .
La afirmación es que existen distintos $a,b \in P\,$ tal que $n!\mid (S(a)-S(b))$ .
Supongamos que no existe tal par $a,b$ existe.
Nuestro objetivo es derivar una contradicción.
Sea $x = {\displaystyle{\sum_{p \in P}S(p)}}$ . Entonces, por simetría,
\begin{align*} x &= (c_1 + c_2 + \cdots + c_n)\,\bigl((n-1)!\bigr)\,(1 + 2 + \cdots + n)\\[4pt] &= (c_1 + c_2 + \cdots + c_n)\,\bigl((n-1)!\bigr)\! \left( {\small{\frac{n(n+1)}{2}}} \right)\\[4pt] &= (c_1 + c_2 + \cdots + c_n)\,(n!)\left({\small{\frac{n+1}{2}}}\right)\\[4pt] \end{align*}
de ahí $x \equiv 0 \pmod{n!}$ .
Pero por supuesto, si $a,b \in P$ con $a \ne b$ entonces $S(a) \not\equiv S(b) \pmod{n!}$ , por lo tanto $$\{S(p)\;\text{mod}\;n!\} = \{0,1,2,...,n!-1\}$$
Sea $w = n!/2.\;\,$ Entonces
\begin{align*} &x \equiv 0 \pmod{n!}\\[4pt] \implies\; &0 + 1 + 2 + \cdots + (n!-1) \equiv 0 \pmod{n!}\\[4pt] \implies\; &0 + (1 + (n! - 1)) + (2 + (n! - 2)) + \cdots + ((w-1) + (w+1)) + w \equiv 0 \pmod{n!}\\[4pt] \implies\; &w \equiv 0 \pmod{n!}\\[4pt] \end{align*}
contradicción, ya que $0 < w < n!$ .
La contradicción prueba la afirmación.
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Sugerencia: si $c_i\equiv c_j \pmod n$ intercambiando $a_i$ y $a_j$ . Así que WLOG podemos suponer $c_i = i - 1$ . Ahora tenga en cuenta que $0\times 3+1\times 1 + 2\times 2 = 0\times 2+1\times 3+2\times 1$ .