Debido a la función específica de las formas que he encontrado, me enteré de que tenía que abandonar la métrica me formalizado en la cuestión en favor de la ligeramente diferente métrica que yo te arbitrariamente llamamos h.
$$ h = \frac{ \text{ mass of structural material} }{ \text{ mass of load } } $$
$$ h = \frac{ f }{ 1-f } $$
En primer lugar, podemos fácilmente el caso en que $h \ll 1$. Teniendo en cuenta la mancuerna forma, la sección transversal del miembro de que se desprende directamente de la magnitud de la carga multiplicada por la aceleración, la masa total de los miembros de la siguiente manera a partir de la sección transversal de los tiempos de los tiempos de la longitud de la densidad.
$$ T = M_{load} a = \sigma A $$
$$ M_{struct} = \rho V = \rho A R $$
En aras de la brevedad, voy a presentarles a $s=\left( \frac{ \sigma }{ \rho} \right)$. Álgebra conduce a:
$$ M_{load} a R = \frac{ \sigma }{ \rho} \rho A R = s M_{struct} $$
$$ h = \frac{ R a }{ s }$$
Esto nos dice que si los materiales estructurales son una pequeña fracción de la masa total no importa qué método se utiliza. En el caso de que el material estructural no es una insignificante fracción de la masa total, nos encontramos con una de las principales complicaciones en donde el área de la sección transversal de un miembro que abarca el diámetro de la centrífuga cambios como una función de radio. Es decir, va a ser más gruesa en el centro, similar a la de las matemáticas de un ascensor espacial. Podemos razonablemente asumir que uno podría construir esta con la menor masa posible, lo que significa que la densidad de masa lineal de los estados será proporcional a la tensión en ese punto en el miembro.
$$ \lambda(r) = \rho A(r) = \frac{ \sigma(r) A(r) }{ s } = \frac{ T(r) }{ s } $$
La tensión en el miembro es la suma de la fuerza centrífuga sobre la carga más la fuerza centrífuga en el miembro estructural integrado de la carga a $r$. Para poner esto en una ecuación que requieren de una ecuación diferencial.
Condición inicial:
$$ T(R) = M_{load} a $$
Desarrollar la expresión para la aceleración centrípeta basado en $a=\omega^2 r$:
$$ a(r) = a \frac{r}{R} $$
La ecuación diferencial que representa la masa de la contribución de los estados a sí mismo. Entonces, antes se combinan expresiones:
$$ \frac{ dT }{ dr } = - \lambda(r) a(r) = - r T(r) \frac{ a }{ R s } $$
Para la limpieza, voy a introducir un parámetro adimensional, $\alpha=R a/s$. Con esto me reformular la ecuación diferencial.
$$ \frac{1}{T(r)} \frac{ dT }{ dr } = -r \frac{ \alpha }{ R^2 } $$
$$ T(R) = \alpha \frac{ M_{load} s }{ R} $$
La solución:
$$ T(r) = M_{load} a \exp{ \left( \frac{ \alpha }{2} \left( 1- \left( \frac{ r}{R} \right)^2 \right) \right) } $$
Este se utiliza para encontrar la masa de los materiales estructurales.
$$ M_{struct} = \int_0^R \lambda(r) dr =\int_0^R \frac{ T(r) }{ s } dr $$
$$ M_{struct} = M_{load} \sqrt{ \frac{ \pi \alpha }{ 2 } } \text{erf} \left( \sqrt{ \frac{ \alpha }{ 2} } \right) \exp{ \left( \frac{ \alpha }{ 2 } \right) } $$
De esta forma, nos da la expresión para $h$ en el caso de la mancuerna enfoque. A partir de la pregunta, sabemos que $f=\alpha$ en la circunferencia de enfoque.
$$ h_{circumferential } = \frac{\alpha}{1-\alpha}$$
$$ h_{dumbbell} = \sqrt{ \frac{ \pi \alpha }{ 2 } } \text{erf} \left( \sqrt{ \frac{ \alpha }{ 2} } \right) \exp{ \left( \frac{ \alpha }{ 2 } \right) } $$
Aquí están las parcelas, el uso de Wolfram Alpha , así que usted puede jugar con usted mismo si lo desea. Estos representan la masa de material estructural en comparación con la masa de la carga para las dos construcciones diferentes, dado como una función del parámetro adimensional alfa. Alfa es un proxy para la ingeniería de la dificultad de la creación de la aceleración con el material disponible.
![graphs to 1/2]()
![graphs out to 2]()
Ahora puedo sacar conclusiones. Tengo tres puntos principales.
- Si el material estructural no es una fracción importante del peso total de los dos métodos son aproximadamente igual de bueno.
- Técnicamente, la mancuerna método es más material eficiente en todos los casos, y esta ventaja es mayor cuando la masa de material estructural es una mayor fracción del total.
- Más allá del límite de $\alpha=1$ todas las estructuras son imposibles con la circunferencia método, pero no existe límite para la mancuerna método. Teóricamente podría construir una gravedad artificial de la estación espacial de un determinado radio con la mancuerna método, incluso si eso significaba el material estructural de la masa sería muchas veces más de la carga.
La respuesta simple a la pregunta que le hice parece ser que sí, con mancuernas-tipo de miembros estructurales como se describe reduciría los materiales necesarios para la misma carga, el radio, y la aceleración.
