Mostrar que $\sum\limits_n1/x_{n}^{2} = 1/10$ donde $x_{n}$ $n^{\text{th}}$ positivo de la raíz de $\tan x = x$

Question

Recientemente me he encontrado con este problema

Mostrar que $$\sum_{n = 1}^{\infty}\frac{1}{x_{n}^{2}} = \frac{1}{10}$$ where $x_{n}$ is the $n^{\text{th}}$ positive root of $\tan x = x$.

He encontrado muchos hilos sobre el MSE, en relación con las soluciones a $\tan x = x$ como esta y esta , que sugieren que la serie $\sum 1/x_{n}^{2}$ es convergente si la comparamos con la $\sum 1/n^{2}$. Pero al mismo tiempo no tengo idea de cómo podemos resumir esto. Por favor ayuda con sugerencias o una respuesta.

Actualización: además, estoy intentado relacionar con la suma de $\sum 1/n^{2} = \pi^{2}/6$ y podemos volver a escribir como $\sum 1/(n^{2}\pi^{2}) = 1/6$, de modo que si $y_{n}$ $n^{\text{th}}$ positivo de la raíz de $\sin x = 0$$\sum 1/y_{n}^{2} = 1/6$. Creo que esto tiene que ver con el producto $$\frac{\sin x}{x} = \prod_{n = 1}^{\infty}\left(1 - \frac{x^{2}}{n^{2}\pi^{2}}\right)$$ where we can see the factors corresponding to actual roots. We can now compare the coefficients of $x^{2}$ on both sides to get $\suma 1/y_{n}^{2} = 1/6$. I don't see any product related to equation $\tan x = x$.

Answer 1

Aviso para los no-cero $z$, tenemos

$$\tan z = z \quad\iff\quad f(z) = \frac{\sin z}{z} - \cos z = 0$$

Desde $\sin z$ $\cos z$ son de entera funciones de orden $1$ en el infinito, por lo que no $f(z)$.

Para las pequeñas $z$, tenemos $$ f(z) = \left(1 - \frac{z^2}{3!} + \frac{z^4}{5!}\right) - \left(1 - \frac{z^2}{2!} + \frac{z^4}{4!}\right) + O(z^6) = \frac{z^2}{3} - \frac{z^2}{30} + O(z^4)\etiqueta{*1}$$ Esto significa $z = 0$ es una doble raíz de $f(z)$.

$f(z)$ es claramente una función par. Su no-cero raíces vienen en pares. Deje $\pm \alpha_n, n = 1, 2,\ldots$ ser el cero raíces ordenado por $0 < |\alpha_1| \le |\alpha_2| \le \ldots$. Por Hadamard teorema de factorización, $f(z)$ dispone de los siguientes factores:

$$f(z) = z^2 e^{g(z)} \prod_{n=1}^\infty \left(\left(1-\frac{z}{\alpha_n}\right)e^{\frac{z}{\alpha_n}}\right) \left(\left(1+\frac{z}{\alpha_n}\right)e^{-\frac{z}{\alpha_n}}\right) = z^2 e^{g(z)} \prod_{n=1}^\infty \left(1 - \frac{z^2}{\alpha_n^2}\right) $$ donde $g(z)$ es un polinomio de grado en la mayoría de las $1$.

Una vez más, ya $f(z)$ es una función par, $\deg g(z) \le 1 \implies g(z)$ es una constante. Compare esto con $(*1)$, obtenemos

$$f(z) = \frac{z^2}{3} \prod_{n=1}^\infty \left(1-\frac{z^2}{\alpha_n^2}\right)$$

Asumir que uno puede mostrar que todas las $\alpha_n$ se encuentra en el eje real y $|\alpha_n|$ aumenta rápidamente, de manera tal que $\displaystyle\;\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{a_n^2}\;$ converge. Entonces es legal para ampliar el infinito producto y obtener $$f(z) = \frac{z^2}{3} \left( 1 - \left(\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{\alpha_n^2}\right) z^2 + O(z^4) \right)$$ Compare esto con $(*1)$ nuevo, obtenemos $\displaystyle\;\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{\alpha_n^2} = \frac{1}{10}\;$.

Actualización

A ver por qué todos los $\alpha_n$ se encuentra en el eje real, deje $z = x + iy$ ser cualquier no-verdadera raíz de la $\tan z = z$, tenemos

$$\frac{\sen z}{z} = \cos z \ffi \frac{e^{i} - e^{-iz}}{iz} = e^{i} + e^{-iz} \ffi e^{i}(1-iz) = e^{-iz}(1+iz)$$ Tomando valor absoluto y cuadrada en ambos lados de la última expresión es equivalente a $$ e^{-2y}((1+y)^2 + x^2) = e^{2y}((1-y)^2 + x^2) \ffi \sinh(2y)(x^2 + y^2 + 1) - 2y\cosh(2y) = 0 $$ Esto lleva a $$x^2 = \frac{1}{\sinh^2(2y)} - (y-\coth(2y))^2 = - (y - \tanh(y))(y-\coth(y)) \etiqueta{*2}$$ La ecuación de $y = \coth(y)$ tiene una única raíz $\mu \approx 1.199678640257734$ en postive eje real. Al $|y| > \mu$, RHS de $(*2)$ es negativo y no hay ninguna solución real para $x$.

Una parcela de RHS de $(*2)$ sobre el intervalo de $[-\mu,\mu]$ mostrar que está delimitada por encima de por $0.1$. Si $\tan z = z$ tiene cualquier no-real de la raíz, que a raíz de la necesidad de estar dentro de un pequeño rectángulo $$\big\{\; x + iy : |x| \le \sqrt{0.1}, |y| \le \mu\;\big\}$$ Una parcela de $f(z)$ más que este pequeño rectángulo indican que no hay ninguna no-real de la raíz. A partir de esto, podemos concluir que todas las $\alpha_n$ se encuentra en el eje real.

Por último, sobre la cuestión de si $\displaystyle\;\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{\alpha_n^2}$ converge o no. Uno puede superponer la trama de $z$ vs $z$ sobre la parcela de $\tan z$ vs $z$. Uno va a observar $$n \pi < \alpha_n < (n + \frac12)\pi,\quad \forall N$$ Esto lleva inmediatamente a $$\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{\alpha_n^2} < \frac{1}{\pi^2}\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2} = \frac16 < \infty$$ y la suma de $\displaystyle\;\frac{1}{\alpha_n^2}\;$ hace converger.

Answer 2

Edit: Algo como esto ya se ha mencionado en los comentarios.

No es una respuesta completa, pero una buena observación. Vamos $$f(z) = \prod_{k=1}^{\infty}\left(1-\frac{z^2}{x_n^2}\right).$$ Then $f$ is entire, $f(0)=1$ and the (simple) roots of $f$ are exactly $\pm x_k$ for $k\geq 1$. So if you can show that $$f(z)=\frac{3(\sin(z)-z \cos(z))}{z^3}=1-\frac{1}{10}z^2+O(z^4)$$ luego ya está.

Answer 3

Esto no es una respuesta exacta (tienes algunas que son muy buenas); por lo tanto, perdóname si no se ajusta a sus necesidades.

En un post anterior , existen algunos real $a >0$ tal que $\tan{a} = a$, Me mostró que el $k^{th}$ solución de $\tan(x)=x$ se puede aproximar por $$x_k\simeq(2k+1) \frac {\pi}{2}-\frac{2}{\pi (2 k+1)}$$ If the second term is ignored $x_k$ is just the value of $\tan(x)$ is undefined and then $$S_1=\sum_{n = 1}^{\infty}\frac{1}{x_{n}^{2}} \simeq \frac{\pi ^2-8}{2 \pi ^2} \simeq 0.0947153$$ Using both terms of the approximation lead to something more complex and $$S_2=\sum_{n = 1}^{\infty}\frac{1}{x_{n}^{2}} \simeq \frac{1}{4} \left(-\frac{16 \pi ^2}{\left(\pi ^2-4\right)^2}+\tan (1)+\sec ^2(1)\right) \simeq 0.0998439$$

Si, en cambio, utilizamos $$x_k \simeq \frac{1}{4}\Big((2k+1)\pi+\sqrt {(2k+1)^2 \pi^2-16}\Big)$$ from which were derived the previous approximations for large values of $k$, the summation cannot be any more computed analytically ans its numerical value is $0.100087$.