Calcula $v_2\left(2005^{2^{100}}-2003^{2^{100}}\right)$

Question

Calcula $v_2\left(2005^{2^{100}}-2003^{2^{100}}\right)$ donde $v_2(n)$ es la mayor potencia de $2$ dividiendo $n$ .

Creo que una forma de resolver esto es utilizar el teorema del binomio con $2005=2003+2$ pero hay que saber algo sobre la mayor potencia de dos que divide los coeficientes binomiales. No estoy seguro de que se comporte bien, y no es estrictamente creciente con el índice inferior. Creo que la respuesta es $103$ . Por favor, no matar el problema con Lifiting el Lemma Exponente. Si este es el único método, supongo que puede incluir una solución. Ya conozco el lema

$v_2(x^n-y^n)=v_2(x-y)+v_2(x+y)+v_2(n)-1$

para $x,y$ impar enteros, lo que resuelve el problema al instante. Pero es algo oscuro y esto no requiere ingenio para aplicarlo.

Answer 1

Observamos que $2005 \equiv 1 \equiv -2003 \bmod 4$

Por lo tanto, $2005^{2r}+2003^{2r}\equiv 2 \bmod 4$

También observamos que $a^2-b^2=(a+b)(a-b)$ para que $$2005^{2^{100}}-2005^{2^{100}}=\left(2005^{2^{99}}+2005^{2^{99}}\right)\cdot \left(2005^{2^{99}}-2005^{2^{99}}\right)=$$$$ =\left(2005^{2^{99}}+2005^{2^{99}}\right)\cdot \left(2005^{2^{98}}+2005^{2^{98}}\right)\cdot\left(2005^{2^{98}}-2005^{2^{98}}\right) $$ where you can increase the number of factors with a $ + $ each time, and each of these contributes $ 1 $ to the valuation, until you get to the point where the exponent is not even $$ \N - Puntos (2005+2003)(2005-2003)$$

Los puntos representan $99$ factores con exponentes $2^{99}\dots 2^1$ contribuir $99$ a la valoración. $2005+2003=4008$ que es divisible por $8$ pas $16$ , por lo que vale la pena $3$ y $2005-2003=2$ vale la pena $1$ . Hago que $103$ .

Esto replica efectivamente la demostración del lema utilizando sólo observaciones elementales