¿Cómo calculo la derivada de una derivada con otra derivada?

Question

La pregunta es un poco de un bocado. En la Mecánica Clásica por Goldstein he visto el uso de los siguientes:

$$ \frac{d\dot{F}}{d\dot{q}_i} = \frac{dF}{dq_i} $$

donde $F = F(q_1,q_2,...,q_n;t)$, $ \dot{F} = \frac{dF}{dt} $ y $ \dot{q_i} = \frac{dq_i}{dt} $ . ¿Cómo puedo mostrar esto?

El uso de este resultado se utiliza en la página 17 de soluciones de PDF de la guía (Página 10 dentro de las derivaciones capítulo) mostrando que la transformación de $L'(q,\dot{q},t) = L(q,\dot{q},t) + \frac{dF(q,t)}{dt}$ mantiene la forma de Euler-Lagrange ecuación invariante:

http://www.slideshare.net/venuatsrr/solution-manual-classical-mechanics-goldstein

Answer 1

En general, esto no es cierto. Por ejemplo, supongamos que la curva parametrizada por $x=t^2$, $y=t$. Entonces $$ \frac{dy}{dx} = \frac{\dot y}{\dot x} = \frac{1}{2} = \frac{1}{2y} $$ Pero $\dot y$ es constante, por lo $$ \frac{d\dot y}{d\dot x} = 0 $$

Miré a su referencia, y como lo que yo puedo decir, tu pregunta es acerca de esta declaración: Si $F = F(q_1,q_2,\dots,q_n;t)$, luego $$ \frac{\partial \dot F}{\partial \dot q} = \frac{\partial F}{\partial q} $$ La razón de esto es la regla de la cadena.

Para cada una de las $i$, la expresión $\dfrac{\partial \dot F}{\partial \dot q_i}$ es sinónimo de $\dfrac{\partial}{\partial \dot q_i}\dfrac{dF}{dt}$. Por la regla de la cadena: \begin{align*} \frac{dF}{dt} &= \frac{\partial F}{\partial q_1}\frac{dq_1}{dt}+\dots +\frac{\partial F}{\partial q_n}\frac{dq_n}{dt} +\frac{\partial F}{\partial t} \\ &= \frac{\partial F}{\partial q_1}\dot q_1+\dots +\frac{\partial F}{\partial q_n}\dot q_n +\frac{\partial F}{\partial t} \\ \end{align*} A continuación, tome $\dfrac{\partial}{\partial \dot q_i}$ de cada lado.