¿El entrelazamiento * no * es intrínseco al estado, sino que depende de la división en subsistemas? (Susskind QM)

Question

Estoy trabajando a través de Susskind la "Mecánica Cuántica" libro (TTM de la serie), que me gusta bastante.

De fondo

En Conferencia 7 (Capítulo 7), estudia un 2-sistema de espín. Un solo giro tiene vectores propios:

$$|u\rangle=\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix},~~ |d\rangle=\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}$$

y, a continuación, un 2-spin estado tiene vectores propios:

$$|uu\rangle=\begin{pmatrix}1\\0\\0\\0\end{pmatrix},~~ |ud\rangle=\begin{pmatrix}0\\1\\0\\0\end{pmatrix},~~ |du\rangle=\begin{pmatrix}0\\0\\1\\0\end{pmatrix},~~ |dd\rangle=\begin{pmatrix}0\\0\\0\\1\end{pmatrix}$$

Alice estudios de la primera con un operador $\sigma$ y Bob el segundo con un operador $\tau$ (estos son realmente producto de los operadores de un solo giro de $\sigma_z$ con la identidad $I$: $\sigma_z\bigotimes I$ y $I\bigotimes\sigma_z)$:

$$\sigma = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -1 \end{pmatrix} ~~~ \tau = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -1 \end{pmatrix}$$

Ahora por las cosas interesantes.

Podemos tener un producto del estado, donde las dos vueltas ("subsistemas") son independientes (no hay enredo):

$$\psi ~=~ (a_1|u\rangle+a_2|d\rangle)\bigotimes(b_1|u\rangle+b_2|d\rangle)$$

$$~~~=~a_1b_1|uu\rangle+a_1b_2|ud\rangle+a_2b_1|du\rangle+a_2b_2|dd\rangle~~~(1)$$

donde el $a_i$ $b_i$ son por separado normalizado a$1$, de modo que si queremos calcular la expectativa para girar el otro no tiene en cuenta en absoluto. Por ejemplo, $\langle\psi|\sigma|\psi\rangle=a_1^2-a_2^2$ con ningún aspecto de la $b_i$.

A continuación, Susskind dice que la mayoría de los elegidos al azar de los coeficientes de la $|uu\rangle...$ (normalizada) no se factoriza como en $(1)$. A continuación, se enreda. Y un ejemplo de un máximo de enredados estado es el estado singlete:

$$|S\rangle=\frac{1}{\sqrt 2}(|ud\rangle-|du\rangle)$$

Ahora$\langle S|\sigma|S\rangle=0$, por lo que tienes cero información sobre cada una de las tiradas. Sin embargo, usted tiene la información acerca de la correlación de las mediciones, debido a que $\langle S|\tau\sigma|S\rangle=-1$ donde por la multiplicación de la matriz

$$ \tau_z\sigma_z = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} $$

Susskind, a continuación, se explica cómo se puede comprobar si un estado se enreda o no (y cuánto enredados) mediante el cálculo de la correlación de los operadores de $A$$B$, o la comprobación de los valores propios de un solo estado de la densidad de matricies ($\rho_{2x2})$, que debe ser $\{1,0,0,0...\}$, o la comprobación de si el estado coeficientes de $\{0,\frac{1}{\sqrt 2},-\frac{1}{\sqrt 2},0\}$ puede factorizar como en $(1)$ (que no puede).

Pregunta (reescrito después de respuestas útiles por tparker y Emilio Pisanty)

No son estos enredos pruebas de todo en relación a la elegida 4x4 operadores, $\sigma_z$$\tau_z$, lo que refleja una elección particular de dividir el estado en subsistemas?

En lugar de una subdivisión basada en las dos vueltas, podemos subdividir basado en $|S\rangle$ y el triplete $|T_1\rangle=\frac{1}{\sqrt 2}(|ud\rangle+|du\rangle),~~|T_2\rangle=\frac{1}{\sqrt 2}(|uu\rangle+|dd\rangle)$$|T_3\rangle=\frac{1}{\sqrt 2}(|uu\rangle-|dd\rangle)$. Vamos a cambiar de base con una matriz de similitud $P=(|T_3\rangle~|T_2\rangle~|T_1\rangle~|S\rangle)$. En esta nueva base, $|S\rangle...|T_3\rangle$ son vectores de la base

$$ A=\tau_z\sigma_{z,la nueva base} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -1 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & -1 \end{pmatrix} \bigotimes \begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & 1 \end{pmatrix} $$

$$ B=\tau_y\sigma_{y,la nueva base} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -1 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & 1 \end{pmatrix} \bigotimes \begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & -1 \end{pmatrix} $$

Consideramos que la nueva base de vectores como producto de vectores isomorfo a una sola gira, que cada uno puede estar en los estados etiquetados $|+\rangle$ $|-\rangle$ (para que no se confunda con $|u\rangle$$|d\rangle$) y obtenemos que

$$ |S\rangle = |{--}\rangle,~~~~ |T_1\rangle = |{-+}\rangle,~~~~ |T_2\rangle = |{+-}\rangle,~~~~ |T_3\rangle = |{++}\rangle $$

Desde $A$ $B$ son de la forma de producto de los operadores, se puede dejar que ellos se define una nueva subdivisión del sistema completo. Cada nuevo subsistema ya no corresponde a un electrón en un lugar específico, como en la división original. A y B pueden ser pensado para funcionar en una etiqueta (en la primera + o -, B en el segundo).

Con esta nueva subdivisión, cada una de las $|S\rangle...|T_3\rangle$ son no se enreda.

Para concluir

El enredo está en el ojo del espectador (4x4 operador, o subsistema de la división). Sí?

Answer 1

Creo entender tu pregunta, pero no entiendo Aaron Stevens comentarios a todos, que dicen ser una válida de reformulación, así que es posible que no estoy realmente entender su pregunta correctamente. Con esa salvedad:

Su idea básica es la derecha, pero sus declaraciones no son matemáticamente con la precisión suficiente para ser completamente correcta. (Para una cosa, usted está utilizando las palabras "enredados" y "puro", como si fueran mutuamente excluyentes, pero que no son - el máximo enredados estado que usted describe es tanto enredados y puro.) Sí, si un estado ha interna enredo de hecho dependen de cómo el factor de espacio de Hilbert en subsistemas.

Pero falta un punto clave, que es que los espacios de Hilbert para un sistema compuesto es un producto tensor del individuo de los sistemas de espacios de Hilbert, no es una suma directa. El espacio de Hilbert $\mathcal{H}_{AB} = \{ |uu\rangle, |ud\rangle, |du\rangle, |dd\rangle \}$ para un sistema de espín es el producto tensor $\mathcal{H}_{AB} = \mathcal{H}_A \otimes \mathcal{H}_B$ donde $\mathcal{H}_A$ $\mathcal{H}_B$ son tanto isomorfo al espacio de Hilbert $\{ u, d \}$ por una sola tirada. Así que de manera significativa puede hablar de un operador que sólo actúan en un subsistema. Pero el conjunto de las combinaciones lineales de las $|S\rangle$ $|T\rangle$ estados formularios de la suma directa de $\{|S\rangle\} \oplus \{|T\rangle\}$, por lo que no podemos pensar en el $|S\rangle$ $|T\rangle$ estados como de los subsistemas que los operadores pueden actuar en forma independiente.

A veces, un sistema compuesto del espacio de Hilbert se puede escribir como un producto tensor en dos no equivalentes maneras. Esto realmente corresponden a dos diferentes formas válidas de dividir el sistema en subsistemas, y si no los subsistemas están enredados puede, de hecho, dependen de esa división. (Pero esto no es del todo la misma cosa como la base de la dependencia, porque resulta que el entrelazamiento es independiente de la base que uno elige para cada subsistema. Una vez que uno elige una división de todo el sistema en subsistemas, entonces cualquier cambio de base dentro de un subsistema de no afectar el enredo.)

No podemos ver esto con sus dos spin ejemplo, pero podemos ver que si consideramos un sistema de tres vueltas $A$, $B$, y $C$, cuyo espacio de Hilbert es $\mathcal{H}_A \otimes \mathcal{H}_B \otimes \mathcal{H}_C = \{ uuu, uud, udu, udd, duu, dud, ddu, ddd \}$. Considerar el estado $$\frac{1}{\sqrt{2}} (|u_A d_B\rangle - |d_A u_B\rangle) \otimes |u_C\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}(|udu\rangle - |duu\rangle).$$ En este estado los giros a y B son máximamente enredado, pero el spin C es que no se enreda con cualquiera de ellos. Una persona sólo puede tener acceso experimental a los operadores que actúan sobre (a) la a y la B, giros o (b) el C spin. Esta persona sería, naturalmente, considerar a y B de gira juntos, que comprende un único subsistema, y la C spin, que comprende un subsistema separado. Por lo tanto, naturalmente, el factor de espacio de Hilbert como $\mathcal{H} = \mathcal{H}_{AB} \otimes \mathcal{H}_C$, y decir que el estado no está enredada. Ellos no se observa ningún inusual correlaciones entre los giros en "la separación de los subsistemas".

Pero alguien podría tener acceso experimental a un conjunto diferente de los operadores, que sólo puede actuar en cualquiera de (a) Un giro, o (b) la B y C de la gira. Esta segunda persona es natural considerar el spin, que comprende un único subsistema, y la B, y C vueltas juntos, que comprende un subsistema separado. Por lo tanto, naturalmente, el factor de espacio de Hilbert como $\mathcal{H} = \mathcal{H}_A \otimes \mathcal{H}_{BC}$, y decir que el estado está enredado (de hecho, el máximo enredados). Se podría observar perfecto correlaciones entre (lo que ellos describen como) "la separación de los subsistemas".

Pero, de nuevo, una vez que se especifica un determinado tensor de la factorización de su espacio de Hilbert fijo subsistemas, a continuación, el enredo entre los subsistemas es tanto - y observador independiente.

Answer 2

El enredo está en el ojo del espectador (4×4 operador, o subsistema de la división). Sí?

Sí, pero eso es un poco inútil de observación.

La definición formal de una enredada estado de un bipartito sistema cuántico con espacio de estado $\mathcal H = \mathcal H_A\otimes \mathcal H_B$ es de la siguiente manera:

• un separables estado es aquel cuya densidad de la matriz pueden ser separados como una suma de tensor de productos individuales de la densidad de las matrices, es decir, si $\rho\in \mathcal B(\mathcal H)$ es la densidad de la matriz del sistema, $\rho$ es separable si y sólo si existen matrices de densidad $\rho_{A,i}\in \mathcal B(\mathcal H_A)$ $\rho_{B,i}\in \mathcal B(\mathcal H_B)$ y pesos $p_i\geq 0$ tal que $$ \rho = \sum_i p_i \rho_{A,i}\otimes \rho_{B,i}. $$
• una enredada estado es un estado que no es separable.

Para mayor claridad, el enredo es una propiedad intrínseca del estado, junto con la partición del espacio de estado en el tensor de factores.

Si usted está dispuesto a re-factorizar el total de su espacio de estado en algunos otros-tensor de producto de la factorización, a continuación, un estado que se enreda en la $A$, $B$ bipartito esquema es de hecho responsable a ser visto como separables en algunos alternativa $A'$, $B'$ factorización.

Sin embargo, si usted es capaz de volver a factorizar el total de su espacio de estado de tal manera, que le dice que su inicial dividido en partes que no era muy significativa, para empezar. En escenarios del mundo real, utilizamos enredo como un concepto relevante para bipartito sistemas donde el tensor-producto de la factorización de el espacio de estado (es decir, la división del sistema en las dos "partes" aludido en el "bipartito") está fijada a partir del contexto y no puede ser cambiado fácilmente. Si usted lo ve en un contexto en el que ese no es el caso (ejem), a continuación, las conclusiones extraídas de los enredos son, en consecuencia debilitado.

Una forma útil de ver esto es teniendo en cuenta que la teoría de enredo es, muy a menudo, pensado como una teoría de recursos. Recursos teorías son grandes maneras de analizar las situaciones donde usted tiene una clase de operaciones que es fácil de implementar, pero que podrían no ser suficientes para lograr algún tipo de pre-especificado objetivo. Otros buenos ejemplos son la termodinámica (donde las operaciones son de conservación de energía de los procesos, y el recurso es la entropía) y gaussianidad (donde las operaciones son óptico lineal de las operaciones); en el enredo, la clase de operaciones gratis es el de las Operaciones Locales de los Clásicos y de la Comunicación, generalmente abreviado como LOCC, y es, obviamente, ligada estrictamente a dividir el sistema en partes que pueden operar de 'local' y que se puede comunicar clásico.

Recurso de teorías, por supuesto, sólo son útiles cuando el recurso se describe es realmente valioso, y cuando su operación restringida son, de hecho, difícil de poner en práctica: así como el estudio de la termodinámica es bastante inútil si usted tiene una mágica caja negra que puede inyectar y retirar energía de cualquier parte de su sistema en su comando, el estudio de enredo es bastante sentido si usted tiene acceso gratuito a la no-LOCC operaciones unitarias que corta a través de la a-a-B split.

Eso no significa que no se puede hablar de enredo en una situación, como por ejemplo, el giro de los dos electrones que están obligados los estados en el mismo átomo o molécula, pero si la re-factorización es físicamente posible en algo parecido a un sentido razonable, entonces las conclusiones que se derivan de la presencia del enredo será correspondientemente trivializado.

Pero lo que es más importante, si usted mira en uso en el mundo real, siempre es de la forma

este sistema se enreda con ese sistema.

En virtud de su re-factorización, la primera parte de la frase a perder su significado no es "enredados", "sistema".

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(La respuesta a continuación se refiere a una interpretación específica de la v6 de la pregunta, que era, francamente, mucho más interesante que la versión actual. Me estoy guardando todo porque de eso).

Lo Susskind proporciona es conocido como un enredo testigo, y aquí usted consigue una cierta cantidad de "eye of the beholder" comportamiento. De forma genérica, un enredo testigo es de algún operador $A$ de manera tal que su expectativa de valor en el estado $\rho$, $\mathrm{Tr}(\rho A)$, va a satisfacer $$ \mathrm{Tr}(\rho A) \geq 0 \qquad \forall\text{ separables }\rho, $$ así que $$ \mathrm{Tr}(\rho A) < 0 \implica \rho\text{ se enreda}. $$ Sin embargo, la mayoría de los enredos de los testigos son imperfectos, es decir, para cualquier enredo testimonio $A$, normalmente habrá enredado estados $\rho$ que $\mathrm{Tr}(\rho A) \geq 0$, por lo que el $A$ no puede detectar el enredo de los que enredan estado.

No obstante, para cualquier enredados estado, siempre habrá al menos un enredo testimonio de que se puede certificar que se enreda.

En otras palabras, la definición de enredo es independiente de los operadores utilizados para detectar su presencia, pero en general, los operadores tendrán un alcance limitado en el que enreda a los estados que puedan detectar.

Y si que la hace sonar como el entrelazamiento es un delicado objeto de detectar y caracterizar, entonces... sí, bastante.