¿Qué significa que un valor absoluto sea igual a otro valor absoluto?

Question

No tengo ningún problema en leer ecuaciones de valor absoluto como $|x -2| = 2$ .

Sé que esto significa que la distancia de algún número real es $2$ lejos del origen. Como el origen divide la recta numérica en un lado negativo y otro positivo, los números dentro del símbolo del valor absoluto serán $2$ y $-2$ ya que esos son los dos únicos números $2$ unidades desde el origen. Entonces, sólo es cuestión de encontrar los valores de $x$ que dará $2$ y $-2$ dentro del valor absoluto.

Por lo tanto, $|x - 2| = 2$ que es

$x - 2 = 2$

o

$x - 2 = -2$

Y las soluciones son $\{0, 4\}$

Pero cuando veo $|3x - 1| = |x + 5|$ No tengo ni idea de lo que significa. Sé cómo resolverlo pero no sé cómo se relaciona esto con la distancia al origen o cómo interpretarlo en una recta numérica. Mi interpretación inicial es decir, "el valor absoluto de algún número desconocido es el valor absoluto de algún número desconocido", pero eso no me dice la distancia desde $0$ .

Mi libro de texto de Álgebra daba la siguiente definición:

Si $|u| = |v|$ entonces $u = v$ o $u = -v$ .

Pero no puedo decir por qué esto es así.

Answer 1

Su interpretación es buena.

Cualquier valor $v$ está en distancia $|v|$ de origen. A veces nos dan la distancia y nos piden que encontremos el valor original. Cuando algo ( $\in \mathbb{R}$ ) está en distancia $|w|$ de origen, tiene un valor o bien $w$ o $-w$ .

Como has dicho, $|x-2|=2$ significa que $(x-2)$ está a la distancia $2$ de origen.

Lo mismo ocurre con el ejemplo que te confunde; $$|3x-1|=|x+5|$$ significa que $(3x-1)$ está en distancia $|x+5|$ de origen.

¿Y qué podemos concluir de esto? Que el valor de $(3x-1)$ es $(x+5)$ o $-(x+5)$ Y eso es lo que dice tu libro de texto usando $u$ y $v$ .

[ Además, puedes darle la vuelta y decir que $(x+5)$ está a la distancia $|3x-1|$ de origen, y esos son los casos redundantes que se ven mencionados en otras respuestas. ]

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Y para referirme directamente a la pregunta del título, tener dos valores absolutos iguales significa, en términos de distancia al origen, que ambos están igual de lejos del origen. Así que $$|u|=|v|$$ significa que $u$ y $v$ están igualmente lejos del origen. ¿A qué distancia en concreto? Exactamente $|u|$ (o $|v|$ porque son iguales).

Answer 2

Tal vez intentar responder a la siguiente pregunta pueda ayudarte..

En la línea real, cuando dos puntos $u$ y $v$ tienen el mismo valor absoluto (la misma distancia desde el origen)?

Answer 3

Si tienes problemas imaginando lo que podría representar la ecuación, considera dos objetos que se mueven a lo largo de la recta numérica. Deja que la coordenada de uno de ellos cambie con el tiempo como $3t - 1$ y el otro como $t + 5$ (esto implicaría que en el momento del tiempo $t=0$ , es de suponer que cuando empezó a observar la situación, uno estaba en $-1$ y se movía a una velocidad constante de 3 unidades de distancia por unidad de tiempo en sentido positivo, mientras que el segundo se encontraba en el punto 5 y su velocidad era de 1).

Ahora se hace la pregunta, ¿en qué momento uno estaba tan lejos del origen como el otro? (Tal vez seas un espía que trata de determinar la marca de tiempo de algún evento, pero todo lo que sabes es que la señal de dos barcos o aviones o lo que sea fue igualmente fuerte en ese punto). Eso es lo que su ecuación $$|3t - 1| = |t + 5|$$ dice. Intuitivamente, porque la velocidad del primer objeto es mayor pero a $t=0$ está a la izquierda del segundo objeto, esto ocurriría dos veces: una en el pasado, cuando el origen estaba exactamente entre los objetos, y otra en el futuro, cuando un objeto adelanta al otro. La ecuación $3t - 1 = -(t + 5)$ corresponde al primer caso (las coordenadas son $-4$ y $4$ respectivamente), y $3t-1 = t+5$ a este último (ambos objetos en $8$ ).

Answer 4

Si $|u| = |v|$ en realidad hay cuatro posibilidades, pero son dos pares redundantes.

Las cuatro posibilidades son.

A) $u \ge 0; v\ge 0$ y por lo tanto $u = |u|; v=|v|=|u| = u$ y RESULTADO 1) $u = v$ .

B) $u < 0; v < 0$ y por lo tanto $u = -|u|; v = -|v|=-|u| = u$ y RESULTADO 1) $u = v$ . (eso es redudante).

C) $u\ge 0; v < 0$ y por lo tanto $u = |u|; v = -|v|=-|u|=-u$ y RESULTADO 2) $u = -v$

D) $u < 0; v \ge 0$ y por lo tanto $u = -|u|; v = |v| = |u| = -u$ y RESULTADO 2) $u = -v$ . (es reductor).

Ahora bien, si $|3x -1| = |x+5|$ nosotros podría resolver haciendo los cuatro casos, pero eso es innecesario ya que obtendremos resultados redundantes y contradictorios.

Hagámoslo para ver qué pasa y ver si podemos aprender de ello:

A) $3x - 1 \ge 0$ y $x + 5 \ge 0$ y por lo tanto $3x-1 = x + 5$ .

En otras palabras $3x \ge 1$ y $x \ge -5$ y $2x = 6$

En otras palabras $x \ge \frac 13$ y $x \ge -5$ y $x = 3$ .

O en otras palabras $x = 3$ .

B) $3x -1 < 0$ y $x + 5 < 0$ y por lo tanto $3x -1 =x+5$ .

O $x < \frac 13$ y $x < -5$ y $x =3$ .

Eso es una contradicción. Observe que no había razón considerar los dos casos si $3x -1$ y $x + 5$ son mayores o menores que $0$ . Fue una pérdida de tiempo. Habría sido igual de bueno sólo considerar que $3x - 1= x+5\implies x = 3$ . Eso es todo lo que teníamos que hacer.

C) $3x - 1< 0$ y $x + 5 \ge 0$ y por lo tanto $3x -1 = -x -5$

O $x < \frac 13$ y $x \ge -5$ y $4x = -4\implies x = -1$ . Así que $x =-1$ es posible.

D) $3x -1 \ge 0$ y $x + 5 < 0$ y por lo tanto $3x-1 = -x -5$

O $x \ge \frac 13$ y $x < -5$ y $4x = -4\implies x = -1$ . Eso es una contradicción.

Pero, de nuevo, no tuvimos que hacer tanto C) como D). Eso era redundante.

Basta con saber que si $|3x -1| = |x+5|$ entonces $3x - 1 = x+5$ (y nosotros no atención si ambos son positivos o ambos negativos podemos calcular que más tarde) o $3x - 1 = -x -5$ (ídem).

Answer 5

Si $|u| = |v|$ entonces $u = v$ o $u = -v$ .

Una forma fácil de entender por qué esto es cierto es cuadrar ambos lados de la ecuación. La declaración $|u|=|v|$ es la misma declaración que $u^2=v^2$ (ya que $\sqrt{x^2}=|x|$ para cualquier $x$ ). Reordenar esto para $u^2-v^2=0$ y luego factorizar el LHS para obtener $(u-v)(u+v)=0$ . Concluir que la declaración original $|u|=|v|$ equivale a la afirmación $u-v=0$ o $u+v=0$ .

Del mismo modo, se puede resolver $|3x-1|=|x+5|$ cuadrando ambos lados.