Demuestre que una matriz es un múltiplo de la identidad

Question

Dejemos que $A$ , $B$ , $C$ tres matrices complejas de 2x2 tales que $$A^2=B^3=I\;(A\neq I\neq B),\quad ABA=B^{-1},\quad AC=CA,\quad BC=CB.$$

Demuestra que $C=rI$ para algunos $r\in\mathbb{C}$ .

Tengo los polinomios mínimos de $A$ y $B$ pero no puedo ir más allá para encontrar el polinomio mínimo de $C$ . ¿Alguna sugerencia?

Answer 1

Esto parece un duplicado de: https://math.stackexchange.com/questions/327223/if-c-commutes-with-certain-matrices-a-and-b-why-is-c-a-scalar-multiple?rq=1# \= .

Lo siento, no sé cómo etiquetar posibles preguntas duplicadas. En cualquier caso, la respuesta de arriba está muy bien explicada.

Answer 2

$A$ y $B$ son diagonalizables. Como $A$ no viaja con $B$ entonces $A\ne\pm I$ así que $A$ tiene valores propios $1$ y $-1$ . Se deduce que las matrices que conmutan con $A$ debe tener la forma $rI+sA$ . Pero esto sólo puede conmutar con $B$ si $s=0$ . La única posibilidad $C$ son de la forma $rI$ .