Estoy en busca de una función de $u: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ que satisface la ecuación diferencial: $$0=g(u') u' + g'(u') u'' u + c_1 u g(u') + c_2 u $$
Edit: también necesitamos una partida condición: $ u(0) = c > 0 $
Donde $g:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$ es suave y estrictamente monótona y $c_1,c_2 \in \mathbb{R}$ son algunas de las constantes. Tengo una corazonada de que esta podría ser una pregunta difícil, incluso asumiendo $g$ a ser lineal (lea: eres bienvenido a asumir $g$ lineal). Cualquier solución/aproximación técnica me sorprendería mucho en una forma positiva :)
En cuanto a cómo esta ecuación apareció: hubo una conversación sobre el consumo de café continuamente, pero en un cambio de velocidad con la temperatura del café. $u$ es el volumen de café y $g$ es la inversa de una función que describe la velocidad a la que una bebida de café a una temperatura determinada ($u' = g^{-1}(T)$). El uso de algunos de física: $E = c_3 u T$, $E' = c_4 A (T - T_s)$, donde $A = 2 \pi r^2 + r^{-1} u$ es el área de la superficie del café (un cilindro con una altura proporcional a $u$) y $E$ es la energía térmica de los restantes café, la fórmula anterior se obtiene.
Para más detalle: La altura del cilindro es proporcional al volumen como $u = h \pi r^2 \iff h = u/(\pi r^2)$ , por lo que $ A = 2 \pi r^2 + h 2 \pi r = 2 \pi r^2 + r^{-1} u$ Desde $E = c_3 u T$ $$ E' = c_3 (u' T + u T') = c_4 (c_5 + c_6 u) $$ La elección de las constantes de modo que se ajuste. La combinación de con $T = g(u') \implies T' = g'(u') u''$ podemos poner todo junto para obtener la fórmula en cuestión.
