Relación entre la distancia más lejana y la segunda más lejana

Question

$n\geq 3$ puntos se encuentran en el espacio tridimensional. ¿Cuál es el mayor $c(n)$ tal que siempre existe un punto para el que el cociente entre la distancia al punto más alejado de él y la distancia al segundo punto más alejado de él es como máximo $c(n)$ ?

En caso de que $n=3$ y los tres puntos están sobre una recta, podemos suponer que la distancia entre el primer y el segundo punto es $a$ y entre el segundo y el tercer punto es $b$ donde $a\leq b$ . Las relaciones de cada uno de los tres puntos son $\frac{a+b}{a},\frac{b}{a},\frac{a+b}{b}$ . Entre estos ratios, $\frac{a+b}{a}$ es la más alta, así que podemos ignorarla. Las dos relaciones restantes se igualan cuando $\frac{b}{a}=\frac{\sqrt{5}+1}{2}$ .

Answer 1

$c(n)->1$ según mis datos en BiggestLittlePolyhedron . Para los $n$ puede normalizar los puntos de modo que la mayor distancia sea $1$ . Las soluciones que tengo ahí maximizan el volumen. Tu problema minimiza la segunda mayor distancia.

Este problema podría ser mejor como encontrar la mejor configuración para un determinado $n$ .

Siendo la distancia máxima una distancia unitaria, he aquí mis mejores resultados para la segunda mayor distancia mínima para $n=8,9,16$ .