¿Cómo se calcula esta integral$\int_{0}^{2\pi}\ {e^{\sin t}}dt $

Question

Evalúa el Integral:$$\int_{0}^{2\pi}\ {e^{\sin t}}\ dt $ $

He encontrado resultados para esto que involucran una serie infinita que se vuelve cada vez más complicada y otras series que involucran más integrales. Idealmente, la solución debe ser una constante bien definida.

Answer 1

Con las funciones modificadas de Bessel $$I_\alpha(x)=\dfrac{1}{\pi}\int_0^\pi e^{x\cos t}\cos\alpha t\ dt$ $ then \begin{align} \int_{0}^{2\pi} e^{\sin t}\ dt &= \int_{0}^{2\pi} e^{\cos t}\ dt \\ &= \int_{0}^{\pi} e^{\cos t}\ dt+\int_{0}^{\pi} e^{-\cos t}\ dt \\ &= \pi I_0(1)+\pi I_0(-1) \\ &= 2\pi I_0(1) \\ &= 2\pi\sum_{n=0}^\infty\dfrac{1}{2^{2n}n!^2} \end {align}

Answer 2

Serie de Taylor de $$e^x = \sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{x^n}{n!}$$ Para $$x = \sin t$$

$$e^{\sin t} = \sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{\sin^n t}{n!}$$ Vamos a integrar $$\int\limits_{0}^{2\pi} e^{\sin t} \ dt = \sum\limits_{n=0}^{\infty} \frac{1}{ n!}\int\limits_{0}^{2\pi}\sin^n t \ dt$$

La integral puede ser calculada utilizando el método mencionado aquí, es decir, utilizando integración por partes como se hizo aquí. Usted va a terminar con una relación de vinculación $I_n = \int\limits_{0}^{2\pi}\sin^n t \ dt$$I_{n-2}$, y por inducción o la recursividad, se puede mostrar que $$\int\limits_{0}^{2\pi}\sin^n t \ dt = \pi \frac{n-1}{n}\frac{n-3}{n-2} \ldots \frac{3}{4} \qquad n = 2k$$ y cero para los impares $n$.

Answer 3

Utilice la regla de Simpson para aproximar esta integral.

Abajo está la fórmula para el uso de Simpson $\displaystyle\frac{1}{3}$ regla

$$\int _{a}^{b}f(x)\,dx \approx \frac {\Delta x}{3}\left(f(x_{0})+4f(x_{1})+2f(x_{2})+4f(x_{3})+2f(x_{4})+\cdots +4f(x_{n-1})+f(x_{n})\right)$$

Donde$\Delta x=\frac{b-a}{n}$$x_i=a+i\Delta x$.

$n$ es el número de intervalos iguales que usted desea tomar. El mayor $n$ es, la mejor es la precisión de la solución.

Así que si tomamos $n=6$, $b=2\pi$, $a=0$, tenemos $\displaystyle\Delta x=\frac{2\pi-0}{6}=\frac{\pi}{3}$, por lo tanto, tenemos puntos finales como $\displaystyle a=0, \frac{\pi}{3}, \frac{2 \pi}{3}, \pi, \frac{4 \pi}{3}, \frac{5 \pi}{3}, 2 \pi=b$.

El uso de Simpson $\displaystyle\frac{1}{3}$ regla, tenemos:

$\begin{align*}\int_{t=0}^{2\pi}\ {e^{\sin t}}dt&\approx\frac{\Delta x}{3}\left(f(x_{0})+4f(x_{1})+2f(x_{2})+4f(x_{3})+2f(x_{4})+4f(x_{5})+f(x_{6})\right)\\&\approx\frac{\pi}{3*3}\left(f(0)+4f\left(\frac{\pi}{3}\right)+2f\left(\frac{2\pi}{3}\right)+4f\left(\frac{3\pi}{3}\right)+2f\left(\frac{4\pi}{3}\right)+4f\left(\frac{5\pi}{3}\right)+f(2\pi)\right)\\&\approx\frac{\pi}{9}\left(1+9.50977070094466+4.75488535047233+...+1.68248010421646+1\right)\\&\approx7.95464392016463\end{align*}$

Y ahí lo tienen: $$\int_{t=0}^{2\pi}\ {e^{\sin t}}dt\approx7.95\text{ (correct to 2 decimal places).}$$

Como he mencionado anteriormente, si seguimos aumentando el número de intervalos ($n$), la anterior aproximación se acercará más y más a la respuesta real.

Answer 4

$$I=\int_0^{2\pi}e^{\sin(x)}dx$ $ sabemos que:$$e^x=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^n}{n!}$ $ así que:$$e^{\sin(x)}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{\sin^n(x)}{n!}$ $ esto no es muy agradable. Sabemos que:$$\int_{0}^{2\pi}e^{\sin(x)}dx=\int_0^{2\pi}e^{\cos(x)}dx$ $ por lo tanto:$$I^2=\left(\int_0^{2\pi}e^{\sin(x)}dx\right)\left(\int_0^{2\pi}e^{\cos(x)}dx\right)=\int_0^{2\pi}\int_0^{2\pi}e^{\sin(x)+\cos(y)}dxdy=\int_0^{2\pi}\int_0^{2\pi}re^{\sin(r\cos(\theta))+\cos(r\sin(\theta))}drd\theta$ $ Estaba pensando que se podía hacer una substición para que el interior del$\sin(r\cos(\theta))$ y$\cos(r\sin(\theta))$ fuera más similar pero no aparece nada ser posible. @ Nosrati parece tener la solución más fácil