¿Es posible rellenar un rectángulo de 1×1 con rectángulos de 1×½, ½×⅓, ⅓×¼,...., 1/n×1/(n+1)?

Question

¿Es posible llenar $1\times1$ rectángulo con $1 \times \frac{1}{2}$ , $\frac{1}{2} \times \frac{1}{3}$ , $\frac{1}{3} \times \frac{1}{4}$ .., $\frac{1}{n}\times\frac{1}{n+1}$ ... rectángulos?

Esta fila converge, porque cuando $n \rightarrow \infty$

$\sum_{i=1}^\infty(\frac{1}{i}\cdot\frac{1}{i+1}) = \sum_{i=1}^\infty (\frac{1}{i} - \frac{1}{i+1}) = 1 + O(\frac{1}{n^2}) = 1$

Como pensé, debo probar que si puedo colocar $\frac{1}{n}\times\frac{1}{n+1}$ rectángulo, también puedo colocar $\frac{1}{n+1}\times\frac{1}{n+2}$ (siguiendo el principio de inducción matemática). Pero aquí me encuentro con un problema. También quiero saber un algoritmo de llenado, si existe.

Actualización: Como mencionó Kevin P. Costello, este es un problema abierto.

Answer 1

Hay una solución sencilla si se nos permite diseccionar los rectángulos. Dada una franja de dimensiones $1$ y $1/(n+1)$ y un pequeño rectángulo de dimensiones $1/n$ y $1/(n+1)$ , divide este último rectángulo en $n$ tiras congruentes con cortes paralelos a la $1/n$ lados. Apilar las piezas como un dos de ladrillos en un lado largo de la $1×(1/(n+1))$ rectángulo. Este último crece entonces hasta $1×(1/n)$ demostrando que $(1/(n+1))+(1/(n(n+1)))=(1/n)$ .