¿Mostrar $\lim\limits_{(x,y)\to(0,0)}\frac{|x|^a|y|^b}{|x|^c+|y|^d}$ existe y es igual a $0$?

Question

Supongamos que $f(x,y)=\frac{|x|^a|y|^b}{|x|^c+|y|^d}$ y $a,b,c,d >0$ ¿cómo demuestras eso si $\frac{a}{c} + \frac{b}{d} >1$ $\lim\limits_{(x,y)\to(0,0)}\frac{|x|^a|y|^b}{|x|^c+|y|^d}$ existe y es igual a $0$?

He estado tratando de usar el teorema del apretón y establecer una desigualdad pero im realmente luchando.

Answer 1

Los jóvenes de la desigualdad indica que, para $x,y>0$ $p,q>0$ $\frac1p+\frac1q=1$ hemos $xy\le \frac{x^p}{p}+\frac{y^q}{q}$ $|x|^a|y|^b\le \frac1p|x|^{ap}+\frac1q|y|^{bq}$ . Podemos optar $p$ $q$ tal que $ap>c$$bq>d$:

Asumir una contradicción que para todos los $p,q$ $\frac1p+\frac1q=1$ tenemos $ap\le c$$bq\le d$$\frac a c +\frac bd \le \frac1p+\frac 1q=1$.

Ahora $$\frac{|x|^a|y|^b}{|x|^c+|y|^d} \le \frac{|x|^{ap}}{p |x|^c}+ \frac{|y|^{bq}}{q|y|^d} \le |x|^{ap-c}+|y|^{bq-d}, $$ que tiende a $0$$(x,y)\to (0,0)$.

Answer 2

Que tener en cuenta

• $|x|=|u|^{1/c}$
• $|y|=|v|^{1/d}$

entonces tenemos

$$\frac{|x|^a|y|^b}{|x|^c+|y|^d}=\frac{|u|^{a/c}|v|^{b/d}}{|u|+|v|}=r^{\frac a c+\frac b d-1}\cdot f(\theta)\to 0$$

ya que limita $f(\theta)=\frac{|\cos \theta|^{a/c}|\sin \theta|^{b/d}}{|\cos \theta|+|\sin \theta|}$ $\frac a c+\frac b d>1 \iff \frac a c+\frac b d-1>0$ tenemos que $r^{\frac a c+\frac b d-1}\to 0$.

Answer 3

General técnica es multiplicadores de Lagrange. Debido a que el valor absoluto de signos, se puede solicitar el valor más grande, con tanto $x,y > 0,$ de $$ \frac{x^a y^b}{x^c + y^d} $$ El multiplicador condición es que la relación $a x^{a-1} y^b ::: c x^{c-1}$ es lo mismo que $b x^{a} y^{b-1} ::: d y^{d-1}.$ el Uso de la cruz-la multiplicación de fracciones que se supone que da igual $$ adx^{a-1} y^{b+d-1} = bc x^{a+c-1} y^{b-1}. $$ De la primera cancelación da $$ ad y^{b+d-1} = bc x^{c} y^{b-1}. $$ El siguiente da $$ ad y^{d} = bc x^{c} . $$ Es decir, el valor más grande de fijo $x^c + y^d$ se produce cuando $$ y = \lambda x^{c/d} $$ y $\lambda$ es una constante positiva. $$ \frac{x^a y^b}{x^c + y^d} \leq \frac{\lambda_2 x^a x^{\frac{bc}{d}}}{x^c + \lambda_3 x^c} \leq \lambda_4 x^a x^{\frac{bc}{d}} x^{-c}$$ La resultante límite de $x$ $0$ $0$ cuando $$ a + \frac{bc}{d} - c > 0 \; , \; $$ $$ a + \frac{bc}{d} > c \; , \; $$ o, como $c>0,$ $$ \frac{a}{c} + \frac{b}{d} > 1 \; . \; $$