Sea S un conjunto finito de primos en Q. ¿Qué sabemos, si es que sabemos algo, de las superficies K3 sobre Q con buena reducción fuera de S? (Para ser más preciso, supongo que me refiero a esquemas sobre Spec Z[1/S] cuyas fibras geométricas son superficies K3 (lisas), dotadas de polarización de algún grado fijo). ¿Hay sólo un número finito de clases de isomorfismo, como sería el caso de las curvas de género fijo? Si no se conoce (ni se espera) la finitud, ¿se tiene un límite superior para el número de tales superficies K3 X/Q de altura acotada?
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Otto
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Yves Andre ha demostrado la finitud del número de superficies K3 sobre un campo numérico $K$ con una polarización de grado fijo $d$ y que tiene una buena reducción (como variedad polarizada) fuera de un conjunto finito fijo de primos.
La referencia es: "Sobre las conjeturas de Shafarevich y Tate para variedades hiper-Kähler".Math. Ann. 305 (1996), nº 2, 205-248.
Algunas reflexiones.
No hay tales variedades cuando S = 1. Esto es una consecuencia de un teorema de Fontaine, MR1274493 (Schémas propres et lisses sur Z).
Creo que sólo cabe esperar un número finito de variedades de este tipo para cualquier S fijo. Es posible que haya una prueba incondicional, pero eso requeriría probablemente saber algo sobre las superficies K3.
Primero quiero afirmar que la ramificación en los primos q|S está "limitada" independientemente de X. El hecho correspondiente para las curvas elípticas será que la potencia del conductor para cada q|N está limitada por 2 (si p > 3) o (si p = 2 o 3) por algún número fijo que no recuerdo.
El argumento más obvio en esta línea es considerar la representación sobre la inercia I _ q que actúan sobre los grupos de cohomología p-ádica etale H^2(X). Estos corresponden a representaciones de Galois con imagen en GL _ 22(Z _ p). El argumento que tengo en mente para las curvas elípticas funciona directamente en este caso, siempre que se tenga la declaración de "independencia de p" para las representaciones de Weil-Deligne en q (pista rápida: la imagen de la inercia salvaje divide el gcd de los órdenes de GL _ 22(F_p) sobre todos los primos p). Esto puede requerir la existencia de modelos semi-estables, que ciertamente se tiene para las curvas elípticas, pero no sé para las superficies K3.
El siguiente paso es utilizar una conjetura de tipo Langlands. La representación p-ádica V en H^2(X) puede ser reducible, pero al menos sabemos que cada trozo irreducible corresponderá a una representación de Galois irreducible de Q en GL _ n(Z _ p) para algún n (como máximo 22). Cada una de ellas, conjeturalmente, corresponderá a una forma automórfica cuspidal de peso fijo y nivel divisible sólo por q|S. Además, a partir del párrafo anterior, el nivel será limitado en q|S. Por tanto, sólo habrá un número finito de representaciones que puedan darse como H^2(X) para cualquier superficie K3 X/Z[1/S]. (Tal vez esté suponiendo aquí que la representación de Galois que actúa sobre H^2(X) es semisimple --- hagámoslo, ya que es una conjetura de Grothendieck y Serre).
Finalmente, quiero deducir de cualquier igualdad H^2(X) = H^2(X') que X es (esencialmente) X'. De la conjetura de Tate deducimos la existencia de correspondencias X>X' y X'>X sobre Q cuya composición induce un isomorfismo en H^2(X) --- y ahora espero que baste con algún conocimiento de la geometría de las superficies K3 para demostrar que estos conjuntos de superficies K3 "isógenas" forman un conjunto finito.
EDITAR:
Como señala Buzzard, en el último párrafo he ocultado el hecho de que puede ser necesario algo más de aritmética. Lo que quería decir es que para entender las clases de isogenia de K3 sobre Q habrá que entender primero las clases de isogenia sobre C, y es de esperar que esta segunda tarea sea la más difícil.
Como señala David, el teorema de Torelli para K3 seguramente será relevante aquí. Sin embargo, creo que puede haber K3 isógenos no isomórficos. Si se toma una isogenia de las superficies abelianas A->B, es de suponer que se puede promover a una isogenia de las superficies de Kummer asociadas.
EDITAR:
Aquí hay otro pensamiento. Deligne demuestra la conjetura de Weil para superficies K3:
http://www.its.caltech.edu/~clyons/DeligneWeilK3trans.pdf
La filosofía es que debería haber una inclusión de motivos H^2(X) --> H^1(A) tensor H^1(A) para alguna variedad abeliana A (posiblemente de alguna dimensión enorme pero uniformemente acotada, como 2^19). Puede ser posible (conjeturando o no) reducir tu pregunta a la afirmación análoga para A, para la que se conoce. (La proposición 6.5 es relevante aquí). Puede ser posible demostrar que la variedad A está definida sobre Z[1/2S], por ejemplo. Podría hacer esta edición más coherente, pero me voy a almorzar, así que trata esto como un fragmento de pensamiento.
Nelson Reis
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Un truco clásico que puede ser útil para la reducción al caso del esquema abeliano es la construcción de Kuga-Satake que lleva una estructura de Hodge de peso 2 de tipo K3 a una estructura de Hodge de peso 1 construida a partir de su álgebra de Clifford. Aunque nunca lo he leído, hay un artículo de Rizov ( http://arxiv.org/abs/math/0608497 ) que se supone que hace que esta construcción trascendental a priori funcione sobre una base general (cuando se empieza con una familia honesta de superficies K3 polarizadas). Todavía puede haber un problema sobre el trabajo hasta la isogenia, pero al menos esto puede permitirte acortar la discusión aritmética.
sagi
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He aquí un resultado sobre las superficies de Kummer (una de las K de K3 significa Kummer) demostrado por Tetsushi Ito en su tesis de maestría no publicada (Tokio). Tengo una copia con fecha de enero de 2001.
Teorema 5.2 . Sea $K$ sea un campo numérico, $S$ un conjunto finito de lugares de $K$ que contiene todos los lugares arquimédicos, y $d$ un número entero. Sólo hay un número finito de superficies de Kummer sobre $K$ , polarizado de grado $d$ que tienen un punto racional y que tienen una buena reducción fuera $S$ .
Utiliza la prueba de Faltings de la Conjetura de Shafarevich para variedades abelianas.
