Realmente quería generalizar esto a dimensiones superiores (y probar algo parecido a la declaración "cada $\bf{n}$ dimensional múltiple cerrada está contenida en una bola dimensional $\bf{n}$), pero soy muy nuevo en esto pero realmente no tienen ni idea. Parece bastante obvio (es decir, tomar cualquier curva plana cerrada y existe un círculo en el que se encuentra... lo mismo pasa con las superficies cerradas, siempre encuentro una esfera bastante grande), pero no veo ningún camino claro en probarlo.
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Thomas
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hyst329
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Tal vez demasiado tarde, pero esta es una explicación bastante simple:
Considere la posibilidad de una curva cerrada como una función: $f:[0,1]\to\mathbb{R}^n$.
Siguiente, esta función debe ser continua en todo el dominio $[0,1]$ (ya que es una curva), y el $f(0) = f(1)$ igualdad debe mantener (ya que es cerrado, no teniendo los extremos).
Continuousness en $\mathbb{R}^n$ significa que por cada $\varepsilon>0$ existe $\delta>0$ que si $|x_2-x_1|<\varepsilon$, $D(f(x_2),f(x_1)) < \delta$ en algunos métrica (función de distancia $D$) definidos en $\mathbb{R}^n$.
Por supuesto, este debe poseer para $\varepsilon=1$, con lo que obtenemos que para cualquier $x_1, x_2 \in [0,1]$ debe $D(f(x_2),f(x_1)) < D_{max}$ donde $D_{max}$ $\delta$ desde arriba, que se define por $\varepsilon=1$ (desde $|x_2-x_1|<1$ mantiene para cualquier $x_1, x_2 \in [0,1]$, excepto el 0 y el 1 de ellos mismos, pero sabemos que $f(0)=f(1)$, lo $D(f(1), f(0))=0$).
Así que, recordando la definición de una pelota $$B_d(c)=\{x \in \mathbb{R}^n | D(c,x)<d\}$$ (una bola con centro de $c$ y radio de $d$), podemos colocar nuestra curva en una bola (por ejemplo,$c=f(0)$$d=D_{max}$)
