Una igualdad con los factoriales

Question

Demostrar que $$2\times 2! + 3\times 3!+4\times 4! +....+n\times n!=(n+1)!-2$$ Sé que se puede demostrar por inducción matemática, pero quiero demostrarlo sin usar la inducción matemática. He atado la ecuación $$C^n_0 + C^n_1 + C^n_2 +...+C^n_n=2^n$$ Pero no conseguí nada útil.

Answer 1

Una pista: $$\sum_{k=2}^n k\cdot k!=\sum_{k=2}^n (k+1-1)\cdot k!=\sum_{k=2}^n (k+1)!-\sum_{k=2}^n k!$$

Answer 2

$2\times2!=3!-2!$

$3\times3!=4!-3!$

...

$n\times n!=(n+1)!-n!$

Súmalos todos entonces $3!,4!,...n!$ cancelar.

Por lo tanto, LHS $=(n+1)!-2$