Para $\alpha, \beta \geq 0$ $\gamma > 0$ vamos
$$ f_{\alpha,\beta,\gamma} (z) = \frac{\exp \left(\mathrm{i} z \frac{z^2 - \alpha^2}{z^2 - \beta^2}\right)}{z^2 + \gamma^2} \, , \, z \in \mathbb{C} \setminus \{\pm\beta, \pm \mathrm{i} \gamma\} \, . $$
Por simetría tenemos
$$ I (\alpha,\beta,\gamma) = \frac{1}{2} \int \limits_{-\infty}^\infty f_{\alpha,\beta,\gamma} (x) \, \mathrm{d} x \, .$$
Claramente, la integral existe para cada combinación de parámetros y está delimitada por $\frac{\pi}{2 \gamma}$ .
Podemos calcular su valor usando el teorema de los residuos. En primer lugar observamos que tenemos
$$ \operatorname{Res} (f_{\alpha,\beta,\gamma}, \mathrm{i} \gamma) = \frac{1}{2 \mathrm{i} \gamma} \exp \left(- \gamma \frac{\alpha^2 + \gamma^2}{\beta^2 + \gamma^2}\right) $$
y (por Jordania lema)
$$ \lim_{R \to \infty} \int \limits_{\Gamma_R} f_{\alpha,\beta,\gamma} (z) \, \mathrm{d} z = 0 \, ,$$
donde $\Gamma_R$ es un semi-círculo de radio $R > 0$ en la mitad superior del plano -. Un ingenuo aplicación del teorema de los residuos, por tanto, los rendimientos de los
$$ I (\alpha,\beta,\gamma) = \frac{1}{2} \left[ 2 \pi \mathrm{i} \operatorname{Res} (f_{\alpha,\beta,\gamma}, \mathrm{i} \gamma) - \lim_{R \to \infty} \int \limits_{\Gamma_R} f_{\alpha,\beta,\gamma} (z) \, \mathrm{d} z \right]= \frac{\pi}{2 \gamma} \exp \left(- \gamma \frac{\alpha^2 + \gamma^2}{\beta^2 + \gamma^2}\right) \, .$$
Mientras que el resultado es de hecho correcta, este cálculo es válido sólo para $\alpha = \beta$ . En este caso obtenemos (como ya se mencionó en la pregunta) $I(\alpha,\alpha,\gamma) = \frac{\pi}{2 \gamma}\mathrm{e}^{- \gamma}$ .
Si $\alpha \neq \beta$ , $f_{\alpha,\beta,\gamma}$ ha esenciales singularidades en el eje real, es decir, en $\pm \beta$ . Por lo tanto necesitamos para deformar nuestro contorno utilizando pequeña semi-círculos $\gamma_\varepsilon (\pm \beta)$ radio $\varepsilon > 0$ centrado en estos puntos y demostrar que su contribución a la integral se desvanece como $\varepsilon \to 0$ .
Por simplicidad, sólo voy a hablar del caso $\beta = 0$ en detalle. Queremos encontrar
$$ \int \limits_{\gamma_\varepsilon (0)} f_{\alpha,0,\gamma} (z) \, \mathrm{d} z = \varepsilon \int \limits_0^\pi \frac{\mathrm{e}^{\mathrm{i} \left[\phi + \varepsilon \mathrm{e}^{\mathrm{i}\phi} - \alpha^2 \varepsilon^{-1} \mathrm{e}^{-\mathrm{i} \phi}\right]}}{\gamma^2+\varepsilon^2 \mathrm{e}^{2 \mathrm{i} \phi}} \, \mathrm{d} \phi = \frac{\varepsilon}{\gamma^2} \int \limits_0^\pi \mathrm{e}^{\mathrm{i} \left[\phi - \alpha^2 \varepsilon^{-1} \mathrm{e}^{-\mathrm{i} \phi}\right]} \left[1 + \mathcal{O} (\varepsilon) \right] \, \mathrm{d} \phi \, .$$
El término principal de orden, en realidad puede ser calculado analíticamente: para $z \in \mathbb{C}$ hemos
$$ \int \limits_0^\pi \mathrm{e}^{\mathrm{i} \left[\phi - z \mathrm{e}^{-\mathrm{i} \phi}\right]} \, \mathrm{d} \phi = \mathrm{i} \left[(2 \operatorname{Si}(z) - \pi) z + 2 \cos(z)\right] \, . $$
La integral del seno $\operatorname{Si}$ satisface $\lim_{x \to \infty} \operatorname{Si}(x) = \frac{\pi}{2}$, por lo que obtenemos
$$ \int \limits_{\gamma_\varepsilon (0)} f_{\alpha,0,\gamma} (z) \, \mathrm{d} z \sim \frac{\mathrm{i} \varepsilon}{\gamma^2} \left[(2 \operatorname{Si}(\alpha^2 \varepsilon^{-1}) - \pi) \alpha^2 \varepsilon^{-1} + 2 \cos(\alpha^2 \varepsilon^{-1})\right] \stackrel{\varepsilon \to 0}{\longrightarrow} 0 $$
como se desee. Ahora se nos permite aplicar el teorema de los residuos , que los rendimientos de
\begin{align}
I(\alpha,0,\gamma) &= \frac{1}{2} \left[ 2 \pi \mathrm{i} \operatorname{Res} (f_{\alpha,0,\gamma}, \mathrm{i} \gamma) - \lim_{R \to \infty} \int \limits_{\Gamma_R} f_{\alpha,0,\gamma} (z) \, \mathrm{d} z - \lim_{\varepsilon \to 0} \int \limits_{\gamma_\varepsilon (0)} f_{\alpha,0,\gamma} (z) \, \mathrm{d} z \right] \\
&= \frac{\pi}{2 \gamma} \exp \left(- \frac{\alpha^2 + \gamma^2}{\gamma}\right) \, .
\end{align}
Casi el mismo cálculo de los rendimientos de
\begin{align}
I(\alpha,\beta,\gamma) &= \frac{1}{2} \left[ 2 \pi \mathrm{i} \operatorname{Res} (f_{\alpha,\beta,\gamma}, \mathrm{i} \gamma) - \lim_{R \to \infty} \int \limits_{\Gamma_R} f_{\alpha,\beta,\gamma} (z) \, \mathrm{d} z - \lim_{\varepsilon \to 0} \int \limits_{\gamma_\varepsilon (\beta)} f_{\alpha,\beta,\gamma} (z) \, \mathrm{d} z - \lim_{\varepsilon \to 0} \int \limits_{\gamma_\varepsilon (-\beta)} f_{\alpha,\beta,\gamma} (z) \, \mathrm{d} z \right] \\
&= \frac{\pi}{2 \gamma} \exp \left(- \gamma \frac{\alpha^2 + \gamma^2}{\beta^2 + \gamma^2}\right)
\end{align}
para $\beta > 0$ .
La combinación de estos resultados se concluye que la integral está dada por
$$ I(\alpha,\beta,\gamma) = \frac{\pi}{2 \gamma} \exp \left(- \gamma \frac{\alpha^2 + \gamma^2}{\beta^2 + \gamma^2}\right) $$
para cada $\alpha,\beta \geq 0$$\gamma > 0$ .
