Cómo probar esta desigualdad que implica el mínimo de dos números elegidos

Question

Deje que $a_1, b_1, a_2, b_2, \dots , a_n, b_n$ ser números reales no negativos. Demuestra que

$$ \sum_ {i, j = 1}^{n} \min\ {a_ia_j, b_ib_j\} \le \sum_ {i, j = 1}^{n} \min\ {a_ib_j, a_jb_i\}.$$

¿Cómo puedo probar esta desigualdad. He estudiado sólo las desigualdades básicas, a saber, la desigualdad de AM-GM, la desigualdad de CS y la desigualdad de Tchebycheff. ¿Cómo incorporo esa condición de mínimo de los dos números elegidos y pruebo la desigualdad usando los anteriores ?

Answer 1

Es USA 2000. La siguiente solución no es mía.

Ya que si $ \min\ {a_i,b_i\}=0$ entonces $ \min\ {a_ia_j,b_ib_j\}= \min\ {a_ib_j,a_jb_i\}=0,$

podemos asumir que $a_i>0$ y $b_i>0$ .

Lema 1.

Deje que $r_i \geq0 $ y $x_i$ sean números reales. Demuéstralo: $$ \sum_ {i,j=1}^n \min\ {r_i,r_j\}x_ix_j \geq0. $$ Prueba.

Desde $ \min\ {r_i,r_j\}= \min\ {r_j,r_i\},$ podemos asumir que $0=r_0 \leq r_1 \leq r_2 \leq...\leq r_n$ y obtenemos: $$ \sum_ {i,j=1}^n \min\ {r_i,r_j\}x_ix_j= \sum_ {i=1}^nr_ix_i^2+2 \sum_ {1 \leq i<j \leq n}r_ix_ix_j= \sum_ {i=1}^n \left (r_i-r_{i-1} \right ) \left ( \sum_ {j=i}^nx_j \right )^2 \geq0. $$ Lema 2.

Deje que $a_i>0$ , $b_i>0$ , $r_i= \frac { \max\ {a_i,b_i\}}{ \min\ {a_i,b_i\}}-1$ y $x_i=sign(a_i-b_i) \min\ {a_i,b_i\}.$ Demuéstralo: $$ \min\ {a_ib_j,a_jb_i\}- \min\ {a_ia_j,b_ib_j\}= \min\ {r_i,r_j\}x_ix_j.$$ Prueba.

Desde que reemplazó a $a_i$ con $b_i$ da señales de reemplazo de ambos lados, podemos asumir que $a_i \geq b_i$ .

De manera similar, podemos asumir que $a_j \geq b_j$ y obtenemos: $$ \min\ {r_i,r_j\}x_ix_j= \min\left\ { \frac {a_i}{b_i}-1, \frac {a_j}{b_j}-1 \right\ }b_ib_j=$$ $$= \min\ {a_ib_j-b_ib_j,a_jb_i-b_ib_j\}= \min\ {a_ib_j,a_jb_i\}-b_ib_j=$$ $$= \min\ {a_ib_j,a_jb_i\}- \min\ {a_ia_j,b_ib_j\}.$$ Ahora, aplicando estos lemas obtenemos: $$ \sum_ {i,j=1}^n \min\ {a_ib_j,a_jb_i\}- \sum_ {i,j=1}^n \min\ {a_ia_j,b_ib_j\}=$$ $$= \sum_ {i,j=1}^n \left ( \min\ {a_ib_j,a_jb_i\}- \min\ {a_ia_j,b_ib_j\} \right )= \sum_ {i,j=1}^n \min\ {r_i,r_j\}x_ix_j \geq0 $$ y hemos terminado!

Para $n=4$ que obtenemos: $$(r_4-r_3)x_4^2+(r_3-r_2)(x_3+x_4)^2+(r_2-r_1)(x_2+x_3+x_4)^2+(r_1-r_0)(x_1+x_2+x_3+x_4)^2=$$ $$=r_1x_1^2+(r_2-r_1+r_1)x_2^2+(r_3-r_2+r_2-r_1+r_1)x_3^2+(r_4-r_3+r_3-r_2+r_2-r_1+r_1)x_4^2+$$ $$+2r_1x_1x_2+2r_1x_1x_3+2r_1x_1x_4+2(r_2-r_1+r_1)x_2x_3+$$ $$+2(r_2-r_1+r_1)x_2x_4+2(r_3-r_2+r_2-r_1+r_1)x_3x_4=$$ $$=r_1x_1^2+r_2x_2^2+x_3r_3^2+r_4x_4^2+2r_1x_1x_2+2r_1x_1x_3+2r_1x_1x_4+$$ $$+2r_2x_2x_3+2r_2x_2x_4+2r_3x_3x_4.$$